Orthogonale Matrix

28.12.2009, 16:33

Sete

Orthogonale Matrix

1a) Zeigen Sie, dass für beliebige $\begin{eqnarray*} \phi \in \mathbb R M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine orthogonale Matrix ist, d.h. zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} M^T M = E_2 \end{eqnarray*}$

b) Zeigen sie das für jede orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} (\phi) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass M die folgende Form hat:

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} oder M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) \\ sin(\phi) & -cos(\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

c) Wie wirkt sich (geometrisch gesehen) die Matrix M auf einen Vektor im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

Also zu a) habe ich folgendes

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} M^T = \begin{pmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) \\ -sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} M^T M = M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} *\begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}cos(\phi)cos(\phi)+sin(\phi)sin(\phi) & cos(\phi)(-sin(\phi))+sin(\phi)cos(\phi)\\-sin(\phi)cos(\phi)+cos(\phi)sin(\phi) & -sin(\phi)-sin(\phi)+cos(\phi)cos(\phi)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}cos^2(\phi)+sin^2(\phi) & cos(\phi)-sin(\phi)+sin(\phi)cos(\phi)\\-sin(\phi)cos(\phi)+cos(\phi)sin(\phi) & sin^2(\phi)+cos^2(\phi)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

So nun zu Aufgabe b)

Hier habe ich bisher nur eine idee.

Muss ich hier nicht zeigen das sich für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Einheitsmatrix herstellen lässt. z.B für $\begin{eqnarray*} \phi=0 \end{eqnarray*}$ . Ist der Ansatz so richtig? Wenn ja wie kann ich ihn fortführen?

c) Habe ich mich noch nicht mit beschäftigt unglücklich

28.12.2009, 16:57

Merlinius

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RE: Orthogonale Matrix

Zitat:

Original von Sete
...
b) Zeigen sie das für jede orthogonale Matrix $\begin{eqnarray*} M \in \mathbb R^{2x2} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} (\phi) \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existiert, so dass M die folgende Form hat:

$\begin{eqnarray*} M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -sin(\phi) \\ sin(\phi) & cos(\phi)\end{pmatrix} oder M = \begin{pmatrix} cos(\phi) & sin(\phi) \\ sin(\phi) & -cos(\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

...

So nun zu Aufgabe b)

Hier habe ich bisher nur eine idee.

Muss ich hier nicht zeigen das sich für jedes beliebige $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ eine Einheitsmatrix herstellen lässt. z.B für $\begin{eqnarray*} \phi=0 \end{eqnarray*}$ . Ist der Ansatz so richtig? Wenn ja wie kann ich ihn fortführen?

Ich versteh nicht ganz, was du da sagst. Bzw. sehe ich auch keinen Zusammenhang zwischen deinem Satz und der Aufgabenstellung von oben.

Wie in der Aufgabenstellung beschrieben, sollst du zeigen, dass du für jede orthogonale Matrix ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ finden kannst, so dass die Matrix eine der oben genannten Formen hat. D.h. die Komponente oben links ist $\begin{eqnarray*} cos(\phi) \end{eqnarray*}$ , unten links steht $\begin{eqnarray*} sin(\phi) \end{eqnarray*}$ usw.

D.h. du gibst eine beliebige orthogonale Matrix vor. Und dann zeigst du, dass es solch ein $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gibt, so dass du die einzelnen Komponenten wie in der M Matrix schreiben kannst.

28.12.2009, 22:39

estrella28

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und wie kann man das genau machen?? Wie sieht eine beliebige orthogonale Matrix aus, wie zeige ich das genau??

06.01.2010, 09:40

Matheschatz3215

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Das bedeutet also, dass ich z.B. dann eine Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos(\phi) && sin(\phi)\\ -sin(\phi) && cos (\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehme und jetzt ein phi wähle, sodass jetzt eine der beiden angegebenen Matizen herauskommt?!

Aber wie soll das genau gehen?^^

06.01.2010, 13:56

Merlinius

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Ganz einfach. Wähle die obere der beiden Varianten und setze $\begin{eqnarray*} -\phi \end{eqnarray*}$ ein. Dann umformen mit den Regeln $\begin{eqnarray*} cos(x) = cos(-x) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} sin(x) = -sin(-x) \end{eqnarray*}$ und dann steht deine Matrix da.

06.01.2010, 15:06

Sete

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Also ich habe das jetzt folgendermaßen gemacht. Ich habe eine Matrix gewählt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a && b \\ c && d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und habe dann habe ich das a,b den Einheitsvektor bilden und dadurch auch als $\begin{eqnarray*} cos(\phi),sin(\phi) \end{eqnarray*}$ darstellbar sind.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2 * b^2=c^2*d^2 && a^2 = d^2, b^2 = c^2 \Rightarrow d= \pm a = \pm cos(\phi) \end{eqnarray*}$

Falls d=a folgt c=-b

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}cos(\phi) && -sin(\phi) \\ sin(\phi) && cos(\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Falls d= -a folgt c=b

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}cos(\phi) && sin(\phi) \\ sin(\phi) && -cos(\phi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ist jetzt mal die kruzform. Ist das so korrekt?

und zu c)

Die erste Matrix dreht den Vektor um $\begin{eqnarray*} \phi ° \end{eqnarray*}$ um seinen Ursprung
Die zweite Matrix spiegelt Vektor am Ursprung

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