Parametrisierung Kreislinie

28.12.2009, 17:28

saz

Parametrisierung Kreislinie

Hallo,

wir sollen zeigen, dass es keine globale Parametrisierung der Kreislinie gibt. Finde ich soweit auch ganz logisch, allerdings fällt mir kein Ansatz ein, wie ich das zeigen könnte (bzw. wie ich zu einem Widerspruch komme). Kann mir mal jemand einen Tipp geben?

28.12.2009, 17:33

Leopold

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Was verstehst du unter einer "globalen" Parametrisierung?

28.12.2009, 17:40

saz

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Dass es eine reguläre Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi: T \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} T \subseteq \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ offen, sodass $\begin{eqnarray*} \Phi(T) = S_1 = \{x \in \mathbb{R}^2; \|x\| = 1 \} \end{eqnarray*}$ . (Also praktisch wie eine lokale Parametrisierung, nur dass man keine Umgebung wählen muss, für die die Parametrisierung "gültig" ist.)

28.12.2009, 18:50

Leopold

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Und was ist eine "reguläre" Abbildung?

28.12.2009, 18:53

saz

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Mh, $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ ist injektiv, stetig differenzierbar, die Ableitung hat Rang 1 (im hier vorliegenden Fall), $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ ist stetig. Ich hoff' mal, ich hab nichts vergessen.

Mir ist ansonsten schon klar, dass es ein Widerspruch zu der Injektivität gibt, aber ich krieg's irgendwie nicht sauber hin.

28.12.2009, 19:59

Leopold

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Nehmen wir an, es gäbe so ein $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ zusammenhängend ist, wäre auch $\begin{eqnarray*} T = \Phi^{-1}(S^1) \end{eqnarray*}$ es (die stetige Abbildung $\begin{eqnarray*} \Phi^{-1} \end{eqnarray*}$ erhält den Zusammenhang). Also ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ein offenes Intervall. Jedes offene Intervall kann aber durch Verschieben und Strecken homöomorph auf das offene Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, letzteres hinwieder durch z.B. die Abbildung $\begin{eqnarray*} x \mapsto \frac{x}{1 - |x|} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . So hätte man also einen Homöomorphismus zwischen $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ . Das ist aber unmöglich, denn $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ ist kompakt, $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ dagegen nicht.

Ob das stimmt? Und ob es nicht einfacher geht? Irgendwie liegt ja alles daran, daß Intervalle im Unterschied zu Kreislinien nicht geschlossen sind (man kommt als niemals zu einem Punkt, bei dem man schon war, wenn man immer in gleicher Richtung weitergeht).

EDIT
Es reicht wohl schon, daß man konstatiert, daß $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ kompakt ist, das offene Intervall $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ aber nicht.

30.12.2009, 13:25

saz

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Hm, also kann man daraus ja im Grunde auch schlussfolgern, dass für beliebige kompakte Untermannigfaltigkeiten keine globale Parametrisierung existiert, oder?

Dein Beweis erscheint mir soweit schon erstmal ganz logisch, aber so richtig gefällt er mir irgendwie trotzdem nicht Augenzwinkern

... Mal sehen, ob mir noch was anderes einfällt..

30.12.2009, 14:39

Leopold

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Zitat:

Original von saz
aber so richtig gefällt er mir irgendwie trotzdem nicht Augenzwinkern

Mir auch nicht.
Meine Vermutung geht allerdings dahin, daß die von dir angegebene Definition von "regulärer Abbildung" nicht stimmt. Du solltest das noch einmal genau nachlesen. In solchen Fällen ist jeder Quantor wichtig.

30.12.2009, 15:12

saz

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Zitat:

Original von Leopold

Meine Vermutung geht allerdings dahin, daß die von dir angegebene Definition von "regulärer Abbildung" nicht stimmt. Du solltest das noch einmal genau nachlesen.

Hab' ich schon, aber wir haben es uns so aufgeschrieben, wie es oben steht.

Ich würde ja wie gesagt denken, dass man es über die Injektivität zum Widerspruch führen kann... aber gelungen ist mir das bisher eben noch nicht.

30.12.2009, 15:16

Leopold

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Den Begriff "reguläre Abbildung" habe ich in diesem Zusammenhang noch nie gehört, wohl aber "regulärer Punkt", "Homöomorphismus", "Diffeomorphismus".

01.01.2010, 16:23

saz

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Mh tja, man lernt eben immernoch dazu Augenzwinkern

... Also falls jemand noch eine andere Beweisidee hat, würde ich mich über einen Vorschlag freuen.

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