Reihe konvergent ?

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Parcifal Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe konvergent ?
Hallo Leute,

es geht um eine oft gestellte Frage. Leider helfen mir die offenen Threads nicht weiter.

Betrachte .

Ist das Teil konvergent oder nicht ? Das Quotientenkriterium hat mir nicht so wirklich weitergeholfen; und das Wurzelkriterium hat sich auch schnell erledigt.

An der Stelle hab ich probiert eine divergente Minorante zu finden, um dann schließen zu können, dass die Reihe divergent ist. Das sieht aber auch nicht wirklich toll aus:

.

Ich stecke total fest und sehe gar nichts mehr. Bitte um Hilfe.

Gruß, Parcifal
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergent ?
Nach dem zweite Gleichheitszeichen ist im Zähler ein Vorzeichenfehler.

Und was du danach machst, versteh ich nicht. unglücklich
Parcifal Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergent ?
Das war eher ein Akt der Verzweiflung. Ich habe k ausgeklammert (dachte ich jedenfalls), um dann auf die harmonische Reihe zu kommen. Die Abschätzung im letzten schritt ist aber sehr grob. Deswegen glaub ich selber nicht so wirklich daran.
Das heißt ich bin voll auf dem Holzweg? Soll ich nochmal ein Konvergenzkriterium anwenden? Wenn ja, welches?

gruß, parcifal

EDIT:

Ist kein Binom? Vielleicht übersehe ich auch hier was? Bitte auch hier um deine Hilfe.
eierkopf1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Reihe konvergent ?
Die binomische Formel kannst du natürlich anwenden und das hast du auch richtig gemacht.

Kennst du das Grenzwertkriterium? Mit diesem lässt sich die Aufgabe sehr leicht lösen.

EDIT:
Grenzwertkriterium:
Seien und Folgen positiver Zahlen.
Gilt (also der Grenzwert existiert und ist größer 0), so sind die beiden Reihen und entweder beide konvergent oder beide divergent.
TommyLon Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube der Herr und ich sitzen in der gleichen Vorlesung, und das Grenzwertkriterium dürfen wir (soweit ich weiß) nicht benutzen, wir hatten es in der Vorlesung nicht erwähnt. Ansonsten wäre es tatsächlich nicht soooo schwer smile
Parcifal Auf diesen Beitrag antworten »

Das was ich da oben geschrieben habe ist natürlich vollkommender Schrott. (Von den Latex-Tipp-Fehlern mal abgesehen)
Liege ich richtig damit, dass man im Zähler k und im Nenner k^2 ausklammert? Damit komm ich jetzt endlich auf einen grünen zweig. Bitte um Bestätigung.
Das Grenzwertkriterium hatten wir leider nicht in der Vorlesung und darf deshalb nicht für die Lösung des Problems verwendet werden; trotzdem vielen Dank.

gruß, Parcifal
 
 
Jako Auf diesen Beitrag antworten »

Tach,

kannst du das nochmal ausführen? Ich bräuchte bei der Aufgabe auch Hilfe.

Zitat:
Liege ich richtig damit, dass man im Zähler k und im Nenner k^2 ausklammert?


ich hab das mal gemacht und kam auf:



der hintere Bruch ist aber kleiner 1

Daher lässt sich mit der Reihe hier nichts anfangen, da ja diese Reihe divergiert. Man kann sie also nicht als Majorante benutzen.

Hat sonst noch jemand eine Idee?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jako
der hintere Bruch ist aber kleiner 1


Dafür konvergiert er gegen 1/2 und ist damit für fast alle k größer als 1/4.
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jako





wie kommt man da unterm bruchstrich auf die Wurzel?

also bei mir steht dann unterm bruchstrich

und i.wie stell ich mich grad zu doof an das umzuformen Hammer
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Bruchrechnen sollte an der Uni schon drin sein... unglücklich
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jako




waaaaah ... ich komm da immernoch auf was anderes xD

bei mir kommt da



Also in der unteren Wurzel 1 und nich 4

Mal meinen Rechenweg mit aufschreiben ...

Also



Wo isn da mein (Denk-)Fehler? unglücklich
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

In meinen Augen ist die '1' dort in Ordnung. Mit der '4' oben war das wohl nur ein Flüchtigkeitsfehler im Abtippen.

air
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von WebFritzi
Zitat:
Original von Jako
der hintere Bruch ist aber kleiner 1


Dafür konvergiert er gegen 1/2 und ist damit für fast alle k größer als 1/4.


konvergiert der nicht gegen 1?
Jako Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
konvergiert der nicht gegen 1?


Ich glaub auch dass der hintere Bruch gegen 1 konvergiert.

Damit wäre aber noch nicht bewiesen, dass die gesamte Reihe divergiert.

Muss man das vielleicht mit dem Cauchy-Produkt machen? Kann man mit dem Cauchy-Produkt überhaupt die Divergenz beweisen?
gonnabphd Auf diesen Beitrag antworten »

1. Der hintere Bruch konvergiert gegen 1/2.

2. Das bedeutet, dass man z.B. 1/k*1/4 als Minorante nehmen kann, ab einem bestimmten k0.

3. Wenn man bei einer Reihe endlich viele Glieder entfernt, ändert das nichts am Konvergenz-/Divergenzverhalten.

Denkt mal drüber nach... unglücklich
Explo Auf diesen Beitrag antworten »



wieso denn gegen 1/2 ?

die summanden (bis auf die 1en) gehen doch alle gegen null oder nich?
Smartie Auf diesen Beitrag antworten »

Damit hast du dich selbst beantwortet...

Da steht sozusagen (ugs.):




Ich versteh aber nicht ganz:

@WebFritzi
Warum folgt daraus, dass das für fast alle k größer als 1/4 ist?

Wenn das so ist, dann ist 1/4k divergente Minorante und das ganze divergiert auch, oder wie?

MfG
Explo Auf diesen Beitrag antworten »

Autsch okay ... hab die 1 in der Wurzel nicht gesehen/bedacht ... Hammer Hammer
Jako Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum folgt daraus, dass das für fast alle k größer als 1/4 ist? Wenn das so ist, dann ist 1/4k divergente Minorante und das ganze divergiert auch, oder wie?


Genau! Unsere Reihe hat also eine divergente Minorante und divergiert folglich selbst auch.

Ich hoffe nur ich kann das irgendwie in diese formaliserte Beweis-Sprache pressen.
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