Beweis exp(x)>0

28.12.2009, 17:40

DOZ ZOLE

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Beweis exp(x)>0

Hallo,
ich soll in einer aufgabe zeigen das die exponentialfunktion für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ größer als null ist. dazu habe ich bereits gezeigt das gilt:

(i) $\begin{eqnarray*} \exp(x)\exp(-x)=1 \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} \exp(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$

nun verlangt die aufgabenstellung noch von mir zuzeigen das:

(iii) $\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$ zu einem wiederspruch führt

allerdings fehlt mir da ein ansatz. wie kann ich das zeigen?

MfG
DOZ ZOLE

28.12.2009, 18:16

saz

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Naja, angenommen es existiert ein x mit $\begin{eqnarray*} \exp(x) < 0 \end{eqnarray*}$ Dann gilt nach (i), dass $\begin{eqnarray*} \exp(-x) < 0 \end{eqnarray*}$ . Und jetzt musst du dir nur noch überlegen, was (offensichtlich) für $\begin{eqnarray*} \exp(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ nach Definition der Exponentialfunktion gilt.

30.12.2009, 13:14

DOZ ZOLE

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naja die definition kenn ich über folgende summe:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

dem zu folge gillt für $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \exp(y)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{y^k}{k!} > 0 \end{eqnarray*}$

wolltest du darauf hinaus?

30.12.2009, 13:17

saz

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Ja. Siehst du denn jetzt den (erhofften) Widerspruch?

30.12.2009, 13:36

DOZ ZOLE

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naja wenn $\begin{eqnarray*} \exp(y)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in \left[0,\infty \right[\supset \mathbb R \end{eqnarray*}$ dann muss $\begin{eqnarray*} \exp(y)<0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ falsch sein da ich ja weiß das die exponentialfunktion für diese teilmenge der reelen zahlen größer als null ist

30.12.2009, 14:01

Mystic

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
$\begin{eqnarray*} \left[0,\infty \right[\supset \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zu obigem eine Info: Es gibt auch negative reelle Zahlen!

Übrigens kann man auch mit dem Zwischenwertsatz argumentieren: Gäbe es ein x mit exp(x)<0, dann gäbe es wegen exp(0)=1>0 und der Stetigkeit von exp(x) auch ein x mit exp(x)=0, im Widerspruch zu exp(x)exp(-x)=1...

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30.12.2009, 14:02

DOZ ZOLE

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ich hab gerade noch nen aufgabenzusatz entdeckt. und zwar soll dieser wiederspruch geziegt werden indem man due tatsache benutzt das exp die eindeutige lösung der differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'=f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist.
und denn reicht doch eigentlichdas folgende:

wenn $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, \ \ x\mapsto \exp(x) \end{eqnarray*}$ dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \Rightarrow 1<0 \end{eqnarray*}$

das ist ein widerspruch und daraus folgt $\begin{eqnarray*} \exp(x) \not< 0 \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 15:14

Mystic

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Kapier deinen Beweis nicht... Wenn man nur weiß, dass es überhaupt ein reelles x gibt mit exp(x)<0, warum soll das ausgerechnet x=0 sein???

30.12.2009, 15:33

DOZ ZOLE

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also in der aufgabe steht ich soll benutzen das die exp-fkt die eindeutige lösung der diffrentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'(x)=f(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

jetzt soll ich ja diese aussage zum widersprcuh führen:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)<0, \ \ \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

da das eine allaussage ist genügt ein gegenbeispiel um dem widerspruch zu bekommen.
aus der bedingung der differentialgleichung kenne ich nun ein $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , nähmlich die null, an der die obige aussage falsch ist.

das heißt

$\begin{eqnarray*} \exp(0)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1<0 \end{eqnarray*}$

und das ist nun offensichtlich ein widerspruch

30.12.2009, 15:52

saz

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Zitat:

jetzt soll ich ja diese aussage zum widersprcuh führen:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Das ist aber nicht die Negation der Aussage, die du oben geschrieben hast! Oben wolltest zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \exp(x) > 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Die entsprechende Negation ist dann: Es existiert ein $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \exp(x) \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Und diese Aussage musst du zum Widerspruch führen.

30.12.2009, 18:27

DOZ ZOLE

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nein das ist nicht die negation aber ich habe schon in (ii) (siehe mein erster post) gezeigt das $\begin{eqnarray*} \exp(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt. (hab ich auf meinem zettel ausführlich gelöst hier nur hingeschrieben). also ist doch nur noch der folgende fall interresant: $\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 18:37

Mystic

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE
[...] also ist doch nur noch der folgende fall interresant: $\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$

Verbunden dem Existenzquantor oder dem Allquantor? Erst dadurch wird es zu einer Aussage, vorher ist es nur eine Aussageform und die ist weder wahr noch falsch...

30.12.2009, 18:59

DOZ ZOLE

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Zitat:

Original von DOZ ZOLE

jetzt soll ich ja diese aussage zum widersprcuh führen:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)<0, \ \ \forall x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 19:03

gonnabphd

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Steht es SO in der Aufgabenstellung? Wäre ja ne witzige Aufgabe, wenn unten im Hinweis dann schon exp(0)=1 steht...

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Viel interessanter ist doch, ob es ein x gibt, s.d. exp(x)<0 ist.

30.12.2009, 19:37

DOZ ZOLE

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also hier die genau aufgabenstellung für (iii):

Zitat:

Führen sie die Annahme $\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$ zum Widerspruch.
Benutzen Sie hierfür die Tatsache, das $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ die eindeutige Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'=f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

hätte ich diesen hinweiß gleich gelesen hätte ich den post auch nicht auf gemacht. aber naja wie immer gilt wer lesen kann is klar im vorteil Big Laugh

Big Laugh

30.12.2009, 21:15

Mystic

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Ja, ein Quantor muss her, sei es nun der Existenzquantor oder der Allquantor... Da die Aufgabe mit dem Allquantor trivial wird, da geb ich gonnaphd völlig recht, kann folglich nur der Existenzquantor gemeint sein...

30.12.2009, 21:42

DOZ ZOLE

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ok, vielleicht bringt es etwas klarheit wenn ich die ganze aufgabe in exaktem wortlaut poste.

Zitat:

Beweisen Sie, das für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} \exp(x)>0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen sie dafür, das für alle $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(i) $\begin{eqnarray*} \exp(x) \exp(-x)=1 \end{eqnarray*}$ ist, indem sie die Ableitung der Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, \ \ x\mapsto \exp(x) \exp(-x) \end{eqnarray*}$ betrachten,

(ii) $\begin{eqnarray*} \exp(x) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist,

(iii) die Annahme $\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$ zum Widerspruch führt.

Benutzen Sie hierfür nur die Tatsache, das exp die eindeutige Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'=f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist.

(i),(ii) hab ich gelöst und kann daher in diesem thread als gegeben gesehen werden.

30.12.2009, 21:49

gonnabphd

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Ok, dann musst du hier ganz klar zeigen, dass - wie schon vermutet - die Aussage

(*) exp(x)>0 für alle x

wahr ist.

Dazu sollst du nun in (iii) annehmen, dass die Aussage (*) falsch ist. Dass es also ein x gibt, sodass exp(x)<0 ist. Wenn das zu einem Widerspruch führt, hast du ja gezeigt, dass die Annahme, (*) sei falsch, fallen gelassen werden muss. Dass also (*) wirklich gilt.

30.12.2009, 21:57

DOZ ZOLE

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ja und dieser wiederspruch is doch das hier oder?

Zitat:

Original von DOZ ZOLE
ich hab gerade noch nen aufgabenzusatz entdeckt. und zwar soll dieser wiederspruch geziegt werden indem man due tatsache benutzt das exp die eindeutige lösung der differentialgleichung $\begin{eqnarray*} f'=f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ ist.
und denn reicht doch eigentlichdas folgende:

wenn $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, \ \ x\mapsto \exp(x) \end{eqnarray*}$ dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow f(x)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(0)=1 \Rightarrow 1<0 \end{eqnarray*}$

das ist ein widerspruch und daraus folgt $\begin{eqnarray*} \exp(x) \not< 0 \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 22:05

Airblader

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Nein, eben nicht!

Du sollst zeigen: exp(x) > 0 für alle x (!).
Also ist die Gegenannahme: Es existiert ein x* mit exp(x*) < 0.

Du hast nun gezeigt, dass x*=0 dies nicht erfüllt. Das heißt aber nicht, dass es kein andere x* geben könnte, bei dem es doch funktioniert.

Für x* > 0 ist es trivialerweise falsch, da exp(x*) dann nach Reihendarstellung klar größer Null ist.

Bleibt also die Frage - was passiert für x* < 0?
Da wurde ganz zu Anfang alles Nötige gesagt.

air

02.01.2010, 14:36

DOZ ZOLE

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kann ich da nicht einfach das folgende potenzgesetz nehmen:

$\begin{eqnarray*} a^{-x}=\frac{1}{a^x} \ ,\ \ \forall x>0 \end{eqnarray*}$

demnach gilt doch

$\begin{eqnarray*} \exp(x)=\frac{1}{\exp(-x)} \ , \ \ \forall x <0 \end{eqnarray*}$

jetzt weiß ich ja aus der reihendarstellung das die exp-fkt für nicht negative argumente größer als null ist, und daraus folgt dann doch:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)=\frac{1}{\exp(-x)}>0 \ , \ \ \forall x <0 \end{eqnarray*}$

und das zusammen mit dem wissen aus der reihendarstellung das die exp für positive argumente größer null ist und auch an der stelle null größer als null ist gibt mir doch denn den gesuchten widerspruch oder?

02.01.2010, 14:38

Airblader

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Du musst aufpassen. exp(x) ist nur eine Funktion. Dass exp(x) = e^x und damit eine echte 'Potenz' ist, das steht auf einem ganz anderen Blatt!

Ansonsten wäre es richtig. Aber wg. obigen Gründen gehts so nicht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air
(Und selbst dann müsstet ihr dieses Potenzgesetz bewiesen haben, aber das wäre ja das kleinere Problem)

02.01.2010, 14:46

DOZ ZOLE

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naja das potenzgesetz haben wir bewiesen und der zusammenhang $\begin{eqnarray*} \exp(x)=e^x \end{eqnarray*}$ viel auch in der vorlesung, auch wenns auch vorher schon bekannt war.
und leider weiß ich mir da nicht weiter zu helfen. ich müsste ja iwie zeigen das die reihe größer null is trotz den negativen x.

02.01.2010, 14:53

Airblader

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Wenn du das wirklich alles hattest, dann klappt das so auch, klar. Aber mir persönlich scheint das doch zu banal, aber nunja - ihr hattet es, du hast keine konkrete Vorgehensweise, an die du dich laut Aufgabe halten musstest, also warum nicht?

Könntest die Ansätze hier natürlich dennoch durcharbeiten. Ist eine gute Übung und wäre ja schade um die Zeit, die alle hier reingesteckt haben.

air

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