Abbildung ganzer Zahlen auf einen Intervall

29.12.2009, 04:11

Iridium

Abbildung ganzer Zahlen auf einen Intervall

Hi,

Ist es möglich die (positiven) ganzen Zahlen in einen bestimmten reellen Intervall abzubilden (z.B. [0,1] )?

Ich bin mir nicht sicher, ob das aus (nicht)trivialen Gründen geht bzw. nicht geht.

29.12.2009, 08:50

DGU

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Abstrakt geht das, da das Bild der natürlichen Zahlen unter einer Abbildung wie die natürlichen Zahlen selbst wieder abzählbar ist, das Intervall [0,1] aber überabzahlbar. Konkret ist so eine Abbildung gar nicht so schwer zu finden, Stichwort: Durch 1 nach oben und 0 nach unten beschränkte Nullfolge.
Btw: Intervall ist maskulin, nicht neutral.

29.12.2009, 09:48

Iridium

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Hi,

Ok, wenn ich das richtig verstehe, dann wäre $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{1}{n}, n \in \mathbb{N} \setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ eine einfache Möglichkeit, um die positiven ganzen Zahlen auf das Intervall (0,1] abzubilden?

Faszinierend einfach.

Danke für die hilfreiche Antwort.

29.12.2009, 17:31

wisili

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Beachte aber bitte, dass der Titel «Abbildung der ganzen Zahlen AUF ein Intervall»
nicht stimmt. Man kann die Menge N lediglich IN ein Intervall abbilden, aber nicht AUF.

30.12.2009, 03:48

pseudo-nym

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Zitat:

Original von wisili
Beachte aber bitte, dass der Titel «Abbildung der ganzen Zahlen AUF ein Intervall»
nicht stimmt. Man kann die Menge N lediglich IN ein Intervall abbilden, aber nicht AUF.

Du meinst das "AUF eine Menge abbilden" Surjektivität impliziert, oder wie?

30.12.2009, 04:48

Iridium

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Die erwähnte Abbildung über die Nullfolge ist doch injektiv, oder? Denn im Intervall (0,1] liegen zwar z.B. solche Zahlen wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ , aber die Zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}, \pi \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sind nicht Teil der Ausgangsmenge.

30.12.2009, 09:12

Mystic

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Zitat:

Original von Iridium
Die erwähnte Abbildung über die Nullfolge ist doch injektiv, oder? Denn im Intervall (0,1] liegen zwar z.B. solche Zahlen wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ , aber die Zahlen $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}, \pi \notin \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ sind nicht Teil der Ausgangsmenge.

Die erwähnte Abbildung ist injektiv, d.h., keine zwei Glieder der Folge mit verschiedenen Indizes sind gleich, das ist richtig... Dein Argument beweist aber nur, dass die Abbildung nicht surjektiv ist, d.h., nicht alle reellen Zahlen in [0,1] sind auch Folgenglieder... Tatsächlich erhält man ja nicht einmal alle rationalen Zahlen in [0,1] als Bilder unter dieser Folge, obwohl man dies bei einer anderen Wahl der Zuordnung durchaus erreichen könnte...

30.12.2009, 09:19

Mystic

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Zitat:

Original von pseudo-nym

Zitat:

Original von wisili
Beachte aber bitte, dass der Titel «Abbildung der ganzen Zahlen AUF ein Intervall»
nicht stimmt. Man kann die Menge N lediglich IN ein Intervall abbilden, aber nicht AUF.

Du meinst das "AUF eine Menge abbilden" Surjektivität impliziert, oder wie?

Das "impliziert" die Surjektivität nicht nur, sondern ist äquivalent zu ihr, d.h., ist einfach eine andere Sprechweise von surjektiv...

30.12.2009, 14:47

Iridium

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@Mystic

Ja, vielen Dank für die Klarstellung. Ist mal wieder mathetypisch alles komplizierter und klarer definiert, als zuerst gedacht. Augenzwinkern

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