Restklassenring Multiplikation

29.12.2009, 11:39

Kosgel

Restklassenring Multiplikation

Hallo,

Ich habe eine Frage zum Restklassenring $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ .
mit p $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ mit der üblischen definition der Multiplikation ein Ring ist:

[a]*[b]:=[a*b]

Meine Frage ist, kann man die Multiplikation auch noch anders definieren, s.d. $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ erneut ein Ring ist, jedoch nicht isomorph zu obigem Ring?

Ich wäre über begründungen auch sehr dankbar.

Vielen Dank für eure Hilfe im vorraus.

Liebe Grüße

29.12.2009, 11:59

wisili

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RE: Restklassenring Multiplikation
Eine immer gegebene Möglichkeit ist, alle Produkte
als 0 zu definieren. Alle Elemente des Rings sind dann
Nullteiler; und ein Einselement gibt es dann nicht.

29.12.2009, 12:07

Idiot

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RE: Restklassenring Multiplikation
Hallo wisili

Damit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ ein Ring ist,

muss es doch aber ein neutrales Element ("Einselement") bezüglich der Multiplikation geben.
Wenn alle "Produkte" als Null definiert sind, so gíbt es kein solches und somit ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_P \end{eqnarray*}$ kein Ring.

eine Lösung habe ich zwar nicht, aber ich denke mal darüber nach.

29.12.2009, 12:24

Elvis

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Mit 0*0=0 ist 0 offenbar das neutrale Element ("Einselement") der Multiplikation im Nullring {0} .

29.12.2009, 12:34

Idiot

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Ja da hast du recht. Aber gehen wir davon aus p = 7.

dann gäbe es kein neutrales element zu den Elementen

[1],...,[6]

Ich denke, dass es keine alternative multiplikation gibt.

Wenn wir davon ausgehen, p ist eine Primzahl,

dann ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ ein Körper.

Und zu jedem Element gibt es ein Inverses.

So müsste die neue Multiplikation ebenfalls dieses Kriterium erfüllen, nämlich für jedes Element ein Inverses "bereitstellen".

Kann das eine andere Verknüpfung erfüllen , ohne dass diese isomorph ist zu der bekannten?

29.12.2009, 13:11

Mystic

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Wenn deine Ringe von Haus aus ein Einselement haben müssen (stimmt das wirklich??), so ist das aber sowas von trivial, dass der Restklassenring mod p bis auf Isomorphie der einzige Ring mit p Elementen ist... Ist nämlich R ein derartiger Ring und e sein Einslement, so ist er homomorphes Bild bei dem Epimorphismus $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z \to R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \mapsto xe \end{eqnarray*}$ , d.h., die Behauptung folgt aus dem Homomorphiesatz...

29.12.2009, 13:27

Idiot

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oh ok.

Ich habe in der VL geschaut und gesehen, dass wir dort den Ring i.A. ohne Einselement definiert haben.

Sorry, dann hab ich mich geirrt.

Wenn man davon ausgeht, dass kein Einselement existieren muss, dann ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ , in dem jedes Produkt das Nullelement ergibt sicherlich ein Ring, wie ihr sagtet.

Ist dieser aber nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ ?

Nun frage ich mich wirklich ob $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ nicht dennoch der einzige Ring ist?

Edit: LaTeX-Tag repariert. Gruß, Reksilat.

29.12.2009, 15:18

Mystic

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Zitat:

Original von Idiot
Ist dieser aber nicht isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ ?

Nun frage ich mich wirklich ob $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ nicht dennoch der einzige Ring ist?

Einselemente werden bei einem Isomorphismus auf Einselemente abgebildet... Von daher kannst du diese Frage hoffentlich leicht selbst beantworten....

29.12.2009, 17:10

wisili

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Zitat:

Original von Elvis
Mit 0*0=0 ist 0 offenbar das neutrale Element ("Einselement") der Multiplikation im Nullring {0} .

@Elvis
Ja natürlich, im Nullring muss man wohl das Nullelement auch als Einselement akzeptieren.
Aber die additive Gruppe Zp mit der annulierenden Multiplikation ist nicht der «Nullring»,
und hierin gäbe es wirklich kein Einselement, nicht wahr?

29.12.2009, 17:12

Elvis

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Wenn der Ring nicht notwendig ein von Null verschiedenes Einselement haben muss, so ist auch $\begin{eqnarray*} R_p=(\{0,1,...,p-1\},+,\cdot), a+b:=a+b\mod p, a\cdot b:=0 \end{eqnarray*}$ ein Ring, und der ist ganz bestimmt nicht isomorph zum Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_p \end{eqnarray*}$ .

29.12.2009, 17:19

wisili

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(... und der hat kein Einselement, auch nicht die Null!)

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