Duale Basis zu einer gegebenen Basis bestimmen

29.12.2009, 12:33	rauschgold	Auf diesen Beitrag antworten »
Duale Basis zu einer gegebenen Basis bestimmen Hallo Leute, ich bin gerade dabei, mich mit dualen Basen zu befassen und hänge an einer Aufgabe fest. Ich habe drei Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_2 \end{eqnarray}$ , die eine Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^ {3} \end{eqnarray}$ bilden gegeben und soll dazu die duale Basis berechnen. Laut einigen Beiträgen in Mathematikforen muss ich das so machen: 1) schreibe die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, v_2, v_3 \end{eqnarray}$ als Spalten in eine Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . 2) transponiere diese Matrix, erhalte $\begin{eqnarray} ^{t}A = B \end{eqnarray}$ 3) invertiere diese Matrix, erhalte $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ 4) lese die Zeilen dieser Matrix $\begin{eqnarray} B^{-1} \end{eqnarray}$ als duale Basisvektoren $\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray}$ ab. 5) teste, ob $\begin{eqnarray} v_{i} w_{j} = \delta_{ij} \end{eqnarray}$ So weit so gut. Ich hab aber einige Fragen: zu 5) wie berechne ich, ob das Kroneckerdelta erfüllt ist? Multipliziere ich einfach beide Matrizen (und das ist doch witzlos, weil wenn ich $\begin{eqnarray} B * B^{-1} \end{eqnarray}$ berechne ja immer die Einheitsmatrix rauskommt) oder nur gewisse "Stellen" dieser Matrix (verdeutlicht duch das i bzw. das j)? Wie mache ich das dann? zu 4) wenn ich bei 5) eine Matrixmultiplikation durchführen soll, ist dann meine neue Matrix, die aus den $\begin{eqnarray} w_1, w_2, w_3 \end{eqnarray}$ besteht so aufgebaut, dass die $\begin{eqnarray} w_1,w_2,w_3 \end{eqnarray}$ in die Spalten oder in die Zeilen (also dass diese Matrix dann gleich der $\begin{eqnarray} B^-{1} \end{eqnarray}$ ist) geschrieben werden? Hier wird die Vorgehensweise so erklärt, wie ich beschrieben habe, während hier das Transponieren der Matrix A ganz sein gelassen wird, ansonsten aber wie vorher verfahren wird. Was ist nun der richtige Weg? Noch eine allgemeine Frage: in meinen Aufzeichnungen steht, dass $\begin{eqnarray} v_{i}(w_{j}) = \delta_{ij} \end{eqnarray}$ gelten muss. Ist mit $\begin{eqnarray} v_{i}(w_{j}) \end{eqnarray}$ dasselbe gemeint wie $\begin{eqnarray} v_{i} * w_{j} \end{eqnarray*}$ Es wäre sehr nett, wenn sich jemand kurz Zeit für diese (wahrscheinlich eher einfachen) Fragen nehmen würde. Vielen Dank!
29.12.2009, 14:36	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorsicht: Wenn du A transponierst, bildet der Spaltenraum der Inversen die duale Basis! Lässt du das Transponieren weg, stehen die Basiselemente der Dualbasis in den Zeilen der Inversen Matrix A. Daher ist es egal, ob du transponierst oder nicht, du musst nur darauf achten, dass du dann die Basis richtig abliest. Für alles weitere hätte auch die Suchfunktion ausgeholfen klick

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