Integral durch Substitution...

29.12.2009, 13:02

bandchef

Integral durch Substitution...

Hallo folgende Aufgabe soll ich durch Substitutio lösen:

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{(x+1)^3} \, dx= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\int \! \frac{x}{x^3+3x^2+3x+1} \, dx= \end{eqnarray*}$ Bringt das hier jetzt was?

Wie gehts jetzt weiter?

danke, bandchef

29.12.2009, 13:14

mYthos

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Nein, so nicht. Setze

$\begin{eqnarray*} x + 1 = u \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} x = u - 1 \ \text{und} \ \dd u = \dd x \end{eqnarray*}$

die entstehende Funktion in u kann durch Trennung in einzelne Summanden leicht integriert werden.

mY+

29.12.2009, 13:44

bandchef

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Wenn ich das jetzt so mache wie du gesagt hast, dann bekomm ich das jetzt raus: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{u^3} \, du=\int \! \frac 1 u *\frac 1 u *\frac 1 u*x \, du \end{eqnarray*}$

Aber hier weiß ich jetzt leider wieder nicht weiter...

29.12.2009, 17:41

Rare676

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Was war denn nochmal x.... Forum Kloppe

?

Mythos schreibt es doch in seinen Beitrag...

30.12.2009, 12:47

bandchef

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x war u-1...

aber was soll das jetzt bringen wenn ich das jetzt für x einsetze? da fällt ja wieder nix weg...

danke, bandchef

30.12.2009, 13:36

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von bandchef
x war u-1...

aber was soll das jetzt bringen wenn ich das jetzt für x einsetze?

Du musst das sogar einsetzen, denn du kannst nicht einfach einmal x durch u ausdrücken (Nenner) und das anderen mal nicht (Zähler).

Wenn du das dann ersetzt hast, fällt zwar erstmal nichts weg, aber du kannst anwenden, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c} = \frac a c + \frac b c \end{eqnarray*}$

ist.

30.12.2009, 13:49

bandchef

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Wenn ich nun u-1 nun für x hier einsetze $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{x}{u^3} \, du \end{eqnarray*}$ , dann kommt das hier raus: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u-1}{u^3} \, du=\int \! \frac{u}{u^3}-\frac{1}{u^3} \, du=\int \! \frac{1}{u^2}-\frac{1}{u^3} \, du=\int \! \frac{1}{u^2} \, du-\int \! \frac{1}{u^3} \, du \end{eqnarray*}$

Und jetzt hab ich den gleichen Nonsens wieder dastehen wieder vorher, nur das ich den Summanden jetzt integrieren kann!

Was mach ich bloß falsch?

danke, bandchef

30.12.2009, 13:51

Q-fLaDeN

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Was war nochmal $\begin{eqnarray*} \frac{u}{u^3} \end{eqnarray*}$ ?

30.12.2009, 13:54

bandchef

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Oh, ich glaube, da hat sich jetzt ein Edit überschnitten! Entschuldigung...

30.12.2009, 13:57

Q-fLaDeN

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Nein nicht ganz, du hast den Fehler oben immernoch drin.

Wie gesagt:

Was war nochmal $\begin{eqnarray*} \frac{u}{u^3} \end{eqnarray*}$ ?

30.12.2009, 14:00

bandchef

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Gut, jetzt hab ich ihn verbessert, aber wie gehts hier jetzt weiter? Ich mein, integriere kann ich ja die beiden Integralsummanden ja immer nocht nicht...

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{u-1}{u^3} \, du=\int \! \frac{u}{u^3}-\frac{1}{u^3} \, du=\int \! \frac{1}{u^2}-\frac{1}{u^3} \, du=\int \! \frac{1}{u^2} \, du-\int \! \frac{1}{u^3} \, du \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

30.12.2009, 14:16

Q-fLaDeN

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Es wäre hilfreich, wenn du den Fehler oben nicht verbessert hättest, und stattdessen, das richtige in deinen nächsten post geschrieben hättest.

Und doch, das kann man jetzt ganz einfach integrieren, es ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b^c} = ab^{-c} \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 14:22

bandchef

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Ok, auf das bin ich jetzt auch gekommen. Nur ist mir noch nicht ganz klar, wie man nun z.b. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{u^2} \end{eqnarray*}$ integrieren kann. Muss man diese Regel welche hinter solchen Brüchen steckt kennen oder muss man diese Regel z.B. in einer Klausur zeigen?

Kannst du mir diese Regel vielleicht hier kurz notieren?

danke, bandchef

30.12.2009, 14:29

Q-fLaDeN

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Hab ich dir doch schon gesagt:

Zitat:

Original von Q-fLaDeN
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b^c} = ab^{-c} \end{eqnarray*}$

Und dann gibts da natürlich so eine Regel, die du auch kennen müsstest:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x^n \Rightarrow F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \end{eqnarray*}$

30.12.2009, 14:36

bandchef

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Ahhhh natürlich! Ich hab nun folgendes Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x+1)^2}-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Wie bring ich nun das auf diese Form: $\begin{eqnarray*} \frac{-2x-1}{2(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

danke, bandchef

30.12.2009, 14:45

Q-fLaDeN

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Genau so ist es.

Also jeden Schritt vorkauen möchte ich dir eigentlich nicht, ein wenig nachdenken kannst du schon. Wie bringt man wohl 2 Brüche auf einen gemeinsamen Bruch?

31.12.2009, 14:23

bandchef

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Man ich glaub jetzt gehts wirklich los...

ich bin zu dumm dass ich hier die brüch zusammenfasse!

ich hab jetzt das hier stehen:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}=\frac{2(x+1)^2(x+1)}{2(x+1)^2(x+1)2(x+1)^2}-\frac{2(x+1)^2(x+1)}{2(x+1)^2(x+1)2(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

aber da kürzt sich ja jetzt alles raus!

danke, bandchef

31.12.2009, 14:28

Iorek

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Du hast doch links schon den Hauptnenner stehen, warum multiplizierst du den linken Bruch nochmal mit dem Hauptnenner? Oder guck ich grad komplett schief und du hast noch was anderes gemacht?

31.12.2009, 14:33

Corny

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Dein Hauptnenner ist doch 2(x+1)²
Das linke kannst du also stehen lassen. Dann bringst du noch das Rechte auf den Hauptnenner und dann hast du dein Ergebnis schon dastehen.

31.12.2009, 14:55

Corny

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Deine Rechnung müsste also dann so lauten:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x+1)²} -\frac{1}{x+1} = \frac{1-2(x+1)}{2(x+1)²} =\frac{-2x-1}{2(x+1)²} \end{eqnarray*}$

31.12.2009, 14:56

Iorek

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@Corny, ist zwar richtig, aber solche Sachen sollten eigentlich nicht vorgerechnet werden, siehe Boardprinzip

31.12.2009, 14:58

Corny

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@Iorek
Sorry, bin neu und bin noch nicht dazu gekommen das Boardprinzip zu lesen.
Danke für den Hinweis.
Mfg

31.12.2009, 15:00

Iorek

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Macht ja nichts (und bei einer simplen Bruchumformung sollte das auch nicht ganz so schlimm sein, da bandchef das ja eigentlich können sollte wenn er sich mit Integralen beschäftigt Augenzwinkern

), nur für die Zukunft. Es bringt keinem was, wenn er die Lösung hier vorgekaut bekommt und einfach abschreibt, dann ist beim nächsten Mal genau das gleiche Problem wieder da und er kann es trotzdem nicht selber lösen (zumal man in einer Klausur eh ohne Internet auskommen muss)

31.12.2009, 15:46

bandchef

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Ich muss doch trotzden den rechten teil so erweitern:

$\begin{eqnarray*} \frac{2(x+1)^2(x+1)}{2(x+1)^2(x+1)2(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

und dann kürzt sich wieder so ein haufen zeug weg das ich nicht drauf komm... ah ich krieg gleich nen nervenzusammenbruch!

danke, bandchef

31.12.2009, 15:55

Corny

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Nein du musst den rechten Teil nicht so erweitern. Dein Hauptnenner ist ja 2(x+1)².
Das bedeutet, du musst den 2 Teil so erweitern, dass aus (x+1) der Hauptnenner 2(x+1)² wird

31.12.2009, 16:39

bandchef

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dann muss man so erweitern?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x+1)^2}-\frac{1}{x+1}=\frac{1}{2(x+1)^2}-\frac{2(x+1)^2(x+1)}{2(x+1)^2(x+1)(x+1)}=\frac{-2x-1}{2(x+1)²} \end{eqnarray*}$

stimmts so?

danke, bandchef

31.12.2009, 16:46

Corny

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Ja so stimmt es.
Es würde aber schneller gehen und leichter, wenn du den zweiten Bruch einfach nur mit 2(x+1) erweiterst, da 2(x+1)*(x+1)=2(x+1)² ist.

01.01.2010, 16:34

Q-fLaDeN

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@bandchef

Warum machst dus denn komplizierter als es ist?

Es ist doch einfach nur

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2(x+1)^2}-\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2(x+1)^2}-\frac{2(x+1)}{2(x+1)^2} \end{eqnarray*}$

Wieso willst du denn als Hauptnenner unbedingt

$\begin{eqnarray*} 2(x+1)^2(x+1)2(x+1)^2 \end{eqnarray*}$

nehmen? Das sieht doch schon auf den ersten Blick falsch aus.

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