Bedeutung von \oint (Integral mit Ring)

29.12.2009, 15:04

Jayk

Bedeutung von \oint (Integral mit Ring)

Hallo!

Ich frage mich schon lange, was dieses $\begin{eqnarray*} \oint \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \iint \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \end{eqnarray*}$ usw. bedeuten. Ich kenne eigentlich nur das normale Flächenintegral $\begin{eqnarray*} \int \end{eqnarray*}$ und wüsste gerne, was die genannten Formen bedeuten. Da ich nicht einmal weiß, wie die Teile heißen, weiß ich natürlich auch nicht, wonach ich suchen muss.

29.12.2009, 15:16

Airblader

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Afaik gibts unterschiedliche Interpretationen.
Das Ringintegral wird manchmal wohl als komplexes Integral verwendet, in der ExPhys-Vorlesung hatten wir es als Integral über einen geschlossenen Weg*.

Mit Doppel- oder Dreifachintegralen berechnet man Flächen/Volumina von beliebigen Objekten/Körpern, nicht nur von einer Funktion o.ä.
Physikalisch ist es zB auch nötig um Trägheitsmomente/-tensoren u.ä. zu berechnen. Durch eine geeignete Substitution verwandelt sich ein "normales" Integral (über ein Volumen) in ein Dreiefachintegral über die drei Koordinatenachsenrichtungen, so dass man ein Integral nach dem anderen wie gewohnt abarbeiten kann.
Bei Mehrfachintegralen gilt prinzipiell: Von innen nach außen integrieren. Sind die Grenzen nicht von den Argumenten abhängig, kann man die Reihenfolge afaik auch beliebig ändern.

Das letzte kenne ich auch nicht, bzw. kann ich dir nicht deuten (aber lustige Konstruktion hast du da).

*) Wobei ich nicht ausschließen möchte, dass das mathematisch irgendwo das selbe ist

Edit:
Zum Doppelintegral mal ein Beispiel. Angenommen, wir wollen den Flächeninhalt eines Kreises mit Radius r berechnen. Wir nehmen an, der Kreis liegt schön im Ursprung, d.h. wir berechnen nur einen Viertelkreis und haben wg der Symmetrie damit 1/4 der Fläche.
"Von links nach rechts" integrieren wir also von 0 bis r. Befinden wir uns dazwischen an einer Stelle x, so ist die entspr. y-Koordinate $\begin{eqnarray*} \sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$ - dies ist die obere Grenze des zweiten Integrals.
Insgesamt haben wir dann mit $\begin{eqnarray*} \dd A = \dd x \dd y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \int_A~\dd A = \int_0^r \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \dd y \dd x = \int_0^r \sqrt{r^2-x^2} \cdot \dd x = \ldots = \frac{\pi r^2}{4} \end{eqnarray*}$

(Ich habe die Berechnung weggelassen, da sie mit Arctan und einem Grenzübergang nur unnötig komplex wäre).

air

29.12.2009, 15:42

Rmn

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Es handelt sich um eine komplett andere Art von Intergralen, als was man aus der Schule kennt. Wobei diese Arten von Integralen meistens auf die aus der Schule bekannte Art zurückgeführt werden kann.
$\begin{eqnarray*} \oint \end{eqnarray*}$ Intergral über geschloßenen Weg.
$\begin{eqnarray*} \iint \end{eqnarray*}$ Oberflächenintegral
$\begin{eqnarray*} \iint \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset\!\supset \end{eqnarray*}$ Oberflächenintegral mit einer geschloßene Oberfläche.
Diese Kreise deuten nur auf Spezielfälle hin und man macht sie meistens drauf, damit man gut erkennen kann, wo man mit Sätze, wie Gauß oder Stockes arbeiten kann.

29.12.2009, 16:09

Jayk

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Zitat:

Das letzte kenne ich auch nicht, bzw. kann ich dir nicht deuten (aber lustige Konstruktion hast du da).

Ich hab's auch heute das erste Mal bei Wikipedia (Definition der Divergenz) gesehen. Das hat mich dann auch dazu bewegt, diesen Thread zu eröffnen. $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ -mäßig wäre ich auch selbst nicht darauf gekommen, das Teil aus Mengensymbolen zu konstruieren.

Aber was hat jetzt eine Kreisberechnung mit einem Oberflächenintegral zu tun. Oder kommen wir jetzt zu den erwähnten "verschiedenen Interpretationen"?

Die Kreisberechnung ist für mich glaube ich auch noch zu schwer (interessierter Schüler 9. Klasse), spätestens bei dem Term habe ich dann aufgehört:

$\begin{eqnarray*} A = 4 \int_0^R \sqrt{R^2 - x^2}\,\mathrm d x= -\frac 4 3 x \cdot (R^2 - x^2)^{3/2} \end{eqnarray*}$

Ich hab gerade überlegt, wie ich weitermache, aber ich mache das erstmal auf dem Papier. Allerdings verstehe ich diese Rechnung nicht:

$\begin{eqnarray*} A = \int_A~\dd A = \int_0^r \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \dd y \dd x \end{eqnarray*}$

Speziell das $\begin{eqnarray*} \int_A~\dd A \end{eqnarray*}$ kapiere ich nicht. Wieso darf denn eine Fläche als Grenze angegeben werden?

PS: Wozu brauche ich denn Doppelintegrale für Trägheitsmomente? Das Trägheitsmoment ist doch soweit ich weiß als $\begin{eqnarray*} \int r^2 \,\mathrm d m \end{eqnarray*}$ definiert.
PPS: Okay, ich glaube zumindest das Ringintegral habe ich jetzt verstanden.

29.12.2009, 16:32

Airblader

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Hi,

wow - also für einen 9.-Klässler hast du schon ein gutes Wissen!

Das Integral musst du dann dennoch erstmal "vergessen". Das ist nicht ganz einfach. Wenn du magst, schreibe ich dir per PN aber was dazu (bzw. würde dir sowieso was schreiben).
Deine Lösung ist jedenfalls falsch. Leite dein Ergebnis doch mal ab - da kommt nicht der Integrand raus Augenzwinkern

Warum man eine Fläche als Grenze angeben darf: Das ist eine "faule" Schreibweise, die eben genau das abkürzt, was danach kommt.

Zu den Trägheitsmomenten: Schön und gut, stimmt auch. Aber berechne das jetzt mal konkret. Augenzwinkern

Dazu musst du das Massendifferential ersetzen und dann landest du wieder bei mehrdimensionalen Integralen.

Ich muss grad leider weg, werde dir aber nachher noch eine PN schicken! Augenzwinkern

air

29.12.2009, 17:29

Jayk

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Zitat:

wow - also für einen 9.-Klässler hast du schon ein gutes Wissen!

Danke!

Zitat:

Deine Lösung ist jedenfalls falsch. Leite dein Ergebnis doch mal ab - da kommt nicht der Integrand raus Augenzwinkern

Ja, ich habe in Gedanken irgendwie Ableitung und Integral durcheinandergehauen. Leider kenne ich da irgendeine Integrationsregel nicht, falls sie existiert. Werde mich mal schlaumachen.

Ich hab ja schon oft bei Wikipedia gesucht, aber bin zu keinem Ergebnis gekommen, da das alles ein bisschen verzwickt wirkt: Die bin ich teilweise auf Artikel gestoßen, die dorthin verlinken, wo ich angefangen habe: etwas verwirrend.

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