Folgen und Reihen in der Praxis

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Tico Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen und Reihen in der Praxis
Hallo =)
Weiß einer von euch, in welchen Gebieten man Folgen und Reihen in der Praxis benutzt? Also ein aussagekräftiges Beispiel?
Ich weiß schon, dass die Verhulst-Folge z.B. bei biologischen Wachstumsprozessen benutzt wird.
Aber hat jemand von euch bessere/weitere Beispiele (wenns geht mit viel Text oder Links dazu, also viele Informationen!).
Am besten wäre natürlich ein Buch zum Bestellen,das über Folgen und Reihen im Leben handelt, oder so ähnlich =)
Vielen Dank für eure Hilfe.
Tico
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, Tico,
ich weiß leider nicht, was du unter Praxis verstehst. Ich als Mathematiker verstehe unter Praxis auch schon die Anwendung von Mathematik in der Mathematik, das ist mathematische Praxis. Augenzwinkern
Folgen und Reihen braucht man schon für die Definition der reellen und komplexen Zahlen (und von vielen noch interessanteren Zahlen). Ganz wichtige Beispiele reeller Zahlen sind Wurzeln aus rationalen Zahlen, die Euler'sche Zahl e, die Kreiszahl pi; das wichtigste Beispiel einer komplexen Zahl ist die imaginäre Einheit i.
Die mathematische Anwendung der reellen Zahlen nennt man Analysis, die mathematische Anwendung der komplexen Zahlen heißt Funktionentheorie, die Anwendung der Analysis "in der Praxis" ist dann angewandte Analysis.
Ganz viele interessante Beispiele gibt es in der Physik. Ein Beispiel ist die Fourieranalyse, da werden Reihen von trigonometrischen Funktionen zur Approximation von periodischen Funktionen benutzt.
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Elvis =)
Das war zwar nicht die Antwort auf meine Frage, aber ich glaube, dass du mir weiterhelfen kannst. Ich versuch, mich genauer auszudrücken =)
Mit Folgen und Reihen in der Praxis meinte ich nicht die mathematische Anwendung, sondern die Anwendung im "Leben". Also wo braucht man im wirklichen Leben die Folgen und Reihen.
Eigentlich ist das eine typische Frage für lernfaule Schüler: "Warum lernen wir das? Wir brauchen es doch später eh nicht im wirklichen Leben (beim Auto fahren und ähnlichem)!" Weißt du, was ich meine?
Ich suche ein Beispiel, wo Folgen und Reihen gebraucht werden. Mit Beispiel meine ich (das habe ich bisher in der Arbeit geschrieben, aber ich weiß nich ob es stimmt), dass Folgen und Reihen zum Beispiel bei geographischen Vorhersagen gebraucht werden, also in Bezug auf Bevölkerungswachstum. Leider habe ich davon zu wenig Ahnung, deswegen kann ich es nicht verwenden.
Vielleicht hilft es dir weiter, wenn ich dir sage, wozu ich es brauche:
Ich hatte vor, das ganze als Einleitung eines Themas über Folgen und Reihen zu schreiben, und wollte sagen, dass Folgen und Reihen überall gebraucht werden, also auch außerhalb der Mathematik (wie z.B. in solchen geographischen Vorhersagen).
Danke
Tico
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Praktisches Beispiel für "Folgen" sind "Zeitreihen" (ich finde es lustig, dass der Begriff "Zeitreihe" in der Praxis keine "Reihe" im mathematischen Sinn ist, sondern eine "Folge".)
Eine Folge ist ja nichts anderes als eine Abbildung , die jeder natürlichen Zahl einen reellen Wert zuordnet.
Eine Zeitreihe ist eine Abbildung, die jedem Zeitpunkt einen rellen Wert zuordnet, also eine zusammengesetzte Abbildung , also eine Folge.

Beispiele für Zeitreihen sind
a)
10.000 Meßwerte in einem Industrieunternehmen, zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 das erste mal gemessen, werden jede Minute gemessen und in einer Datenbank gespeichert. Das sind 10.000 Folgen, die in ihrer Gesamtheit den Produktionsprozeß beschreiben, sie stellen die Grundlage für das Informationssystem des Unternehmens dar. "Zeitreihenanalyse" ist das mathematische Werkzeug des Industriemathematikers, der aus diesen Folgen mittels statistischen Methoden (Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung, Varianzanalyse, Trendberechnung, ...) Informationen herstellt.
b)
Marktpreise für viele verschiedene Güter, Aktienindices (DAX, Dow Jones, Nikkei Index, ...), Wechselkurse für verschiedene Währungen (Euro, Dollar, Yen, ...) werden jede Minute erfasst. Stunden -, Tages -, Monats - Mittelwerte bilden Zeitreihen, die in der Volkswirtschaft als Information wichtig sind und auch wieder großen Einfluß auf das Verhalten der Märkte haben.
c)
Meinungsumfragen werden regelmäßig wiederholt, um politische und gesellschaftliche Meinungen und deren Veränderung zu testen. Die Antworten werden als Zeitreihen dargestellt und veröffentlicht. Das gibt Meinungsbilder und beeinflusst das Verhalten von Politikern (vielleicht manchmal positiv ?) Beispiele dafür sind das wöchentliche "Polit-Barometer" im ZDF oder ARD-"Deutschlandtrend" .
d)
Meteorologie: Aufzeichnung von Temperatur, Windstärke, Windrichtung, Bewölkung, Niederschlag, Luftdruck über die Zeit an vielen Punkten der Erdoberfläche liefern eine riesige Fülle von Zeitreihen. Zusammen mit mathematischen Modellen über das Verhalten von Wetter (kleinräumig, kurzfristig) und Klima (großräumig, langfristig) versucht man sie zur Wettervorhersage und Klimaforschung zu benutzen.

Im Gegensatz zu mathematischen Folgen sind alle diese Zeitreihen endlich, denn irgendwann hört das Messen, Speichern, Auswerten von Zahlen einmal auf, aus physikalischen Gründen oder weil das Interesse an den Informationen nachlässt - früher oder später. Man kann (endliche) Zeitreihen zu (unendlichen) Folgen erweitern, indem man allen nachfolgenden Zeitpunkten den reellen Wert 0 zuordnet (oder irgend einen mehr oder weniger sinnvollen) anderen rellen Wert; in diesem Sinne sind das auch mathematisch gesehen gute Beispiele für Folgen in der Praxis.

Wenn du mir ein einziges Beispiel für eine Reihe aus der Praxis gibst, denke ich auch darüber noch mal nach (etwas zum Thema ist mir schon eingefallen ... )
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, perfekte Antwort, vielen vielen Dank.
Das mit den Zeitreihen (oder Folgen) habe ich verstanden. Ich werde mich jetzt genauer mit den Zeitreihen im politischen Sinn beschäftigen, also das mit den Meinungsumfragen.
Dazu habe ich noch ein paar Fragen (ich bin nicht gerade das Politik-Genie :-) Das Politbarometer, bzw. der ARD-Deutschlandtrend: Sind das eigene Fernsehsendungen oder Bestandteile des heute-journals oder der Nachrichten? Ich habe gerade einfach mal drauf los "gegoogelt", aber kein Fernsehprogramm gefunden (habe vor, es mir mal anzusehen).
Gibt es irgendwelche Internetlinks oder -bücher, die Zeitreihen im Zusammenhang mit politischen Meinungsfragen genauer erklären?
Ich würde mich freuen, wenn du mir auch dabei weiterhelfen könntest. Das, was du bisher geschrieben hast, war total klasse. Also nochmal vielen, vielen Dank.
Noch eine Frage zu deinem letzten Satz: Man könnte die Verhulst-Folge doch auch umschreiben, bzw. einfach eine Reihe bilden, die einen bestimmten Wachstumsprozess, sei es im chemischen Bereich, also bei dem Wachstum von Bakterienkolonien oder auch im geographischen Bereich (Bevölkerung). Man müsste nur, da man eine Reihe hat, jedesmal den Anteil, um den sich z.B. die Bevölkerung vergrößert hat, zum Rest dazu addieren?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Blumen, aber perfekte Antworten existieren nicht, dazu ist die Welt viel zu kompliziert. Augenzwinkern
Vorsicht mit der Politik, da gerät man leicht ins unmathematisch Unscharfe. Ich würde alles vorziehen, wo man mit Zahlen arbeitet statt mit Meinungen.

Wikipedia sagt
"Das Politbarometer ist eine Sendung des ZDF, die normalerweise monatlich, Freitagabend ausgestrahlt wird. Neben der Sonntagsfrage zeigt es die aktuellen und langfristigen Trends zu politischen Themen in der Bundesrepublik Deutschland.
Zu den Schwerpunkten des Politbarometers gehören:
die politische Stimmung in Deutschland
die Sonntagsfrage
die Bewertung der wichtigsten Politiker
Umfrage zu aktuellen Themen aus Politik und Wirtschaft
Die Erhebung findet seit 1977 statt und wird normalerweise einmal im Monat, manchmal auch häufiger durchgeführt. Moderatorin des Politbarometers ist derzeit Bettina Schausten, Leiterin der ZDF-Hauptredaktion Innen-, Gesellschafts- und Bildungspolitik. Vor Landtagswahlen findet eine spezielle Umfrage des Politbarometers für das jeweilige Bundesland statt. Für die Erhebung ist die Forschungsgruppe Wahlen verantwortlich, die dazu rund 1.200 Bürger repräsentativ für die gesamte Bevölkerung der Bundesrepublik Deutschland befragt. Politbarometer können beim Zentralarchiv für Empirische Sozialforschung[1] in der GESIS bezogen werden.
Eine ähnliche Erhebung ist der von der ARD und Tageszeitungen vorgestellte ARD-Deutschlandtrend."
 
 
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke. :-)
Und was hälst du jetzt genau von meiner Idee, die im 2. teil meiner vorherigen Antwort geschrieben habe? Also, dass man einfach eine Folge in gewisser Weise "umschreibt"
Wenn ich bei politischen Zeitreihen Stabdiagramme benutze, um z.B. die Meinung der Bevölkerung in Bezug auf bestimmte Parteien darzustellen, benutze ich immer noch Zahlen, aber ich weiß, was du meinst, danke für den Ratschlag
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

<gelöscht, weil doppelt>
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, was Zeitreihen ( Folgen ) z.B in der Meinungsforschung angeht. Man erhält tatsächlich Zahlenfolgen dadurch dass man Merkmale in einem geeigneten "Ereignisraum" auf relle Zahlen abbildet. Dieses Verfahren liegt sehr vielen statistischen Datenerhebungen zugrunde, es wird allgemein in der Wahrscheinlichkeitstheorie (das ist auch ein interessantes Gebiet der Mathematik) behandelt.

Deine Idee, dass Reihen und Folgen dadurch zusammenhängen, dass man die Glieder von Folgen addiert, funktioniert nur sehr eingeschränkt. Konvergente Reihen sind konvergente Folgen, aber aus konvergenten Folgen kann man nicht immer konvergente Reihen machen.

Der wichtigste Begriff bei Folgen und Reihen ist die Konvergenz. Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn ihre Glieder sich einem Grenzwert immer mehr annähern.
Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge ihrer Partialsummen konvergent ist. Wenn eine Reihe konvergent ist, dann ist die Folge ihrer Summanden eine Nullfolge (konvergent mit Grenzwert 0), aber die Umkehrung dieser Aussage ist falsch.
Es gibt Nullfolgen, deren zugehörige Reihe nicht konvergiert (bekanntestes Beispiel ist ).
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Folge der Partialsummen ist mir noch unverständlich.
Gilt es immer, wenn eine Reihe konvergent ist, dass die zugehörige Folge gegen 0 konvergiert?

Kann man dann sagen, wenn die Folge keine Nullfolge ist, dann konvergiert die Reihe auch nicht, ist also divergent?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es, du hast einen wichtigen Zusammenhang zwischen Folgen und Reihen völlig richtig verstanden. Freude

Jetzt noch eine Idee wie und wo im richtigen Leben Reihen eine große Rolle spielen bzw. aus mathematikhistorischer Sicht gespielt haben mögen. Es gibt berühmte Paradoxa von Zenon
( Wikipedia siehe hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Zenon_von_Elea ) , bei denen es immer wieder um Raum, Zeit und Bewegung geht.
Eine Idee war, dass ein Läufer eine feste Strecke nicht zurücklegen könne, weil er erst die Hälfte der Strecke, dann vom Rest die Hälfte, dann vom Rest die Hälfte, usw. zurücklegen müsse, und man hatte früher nicht die richtige Mathematik um das zu beschreiben.
Mit einer konvergenten Reihe ist das Problem gelöst, und so konnten die Paradoxa des Zenon durch die Einführung von Reihen gelöst werden.
Reelle Zahlen sind ein wunderbares Modell für das Kontinuum (Raum und Zeit), und Grenzwerte von Folgen bzw. Grenzwerte von Reihen sind wunderbare Modelle von reellen Zahlen. Hier haben wir die Verbindung zwischen Mathematik und Physik, wir leben in Raum und Zeit (bzw. seit Albert Einstein in einer Raumzeit), so spielen also Folgen und Reihen in unserem Leben eine fundamentale Rolle, was könnte praxisnäher sein ?
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke.
Jetzt noch eine andere Frage.
Ich nehme, du kennst das Cauchy-Konvergenzkriterium :-)
Dazu habe ich eine Frage:
Man bestimmt ein und sucht den zugehörigen Index , sodass für alle nachfolgenden Indizes der Abstand der Folgenglieder niemals größer als .
Mit alle nachfolgenden Glieder, meint man damit immer 2 Glieder, also dass immer 2 Glieder nicht mehr als voneinander entfernt sind, oder meint man damit, dass alle nachfolgenden Glieder nicht mehr als von entfernt sind?

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, für die diese Bedingung gilt, also ist jede Cauchy-folge konvergent? Oder ist jede konvergenzte Folge eine Cauchy-folge? Beides oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Folge ist genau dann konvergent, wenn ein Grenzwert existiert, d.h. wenn .
Eine Cauchyfolge ist eine Folge für die gilt .

Jede konvergente Folge hat also einen Grenzwert in der Menge M. Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge. Cauchyfolgen müssen keinen Grenzwert in M haben, ihre Glieder kommen sich für hinreichend großes n beliebig nahe (das tun auch konvergente Folgen, denn deren Glieder kommen für hinreichend großes n dem Grenzwert beliebig nahe). Die Cauchyfolge ist also ein etwas allgemeinerer Begriff als die konvergente Folge.

Cauchyfolgen rationaler Zahlen (Brüche) können konvergent sein, sie haben dann einen rationalen Grenzwert (z.B. die Folge mit Grenzwert 0). Es gibt aber sehr viel mehr Cauchyfolgen rationaler Zahlen, die keinen rationalen Grenzwert haben, sie haben aber immer einen reellen Grenzwert ( z.B. ). Jede relle Zahl ist eine Cauchyfolge rationaler Zahlen, denn man kann sie als unendliche Dezimalzahl schreiben, das ist der Prototyp einer Cauchyfolge. Jede Cauchyfolge reeller Zahlen ist konvergent, diese Eigenschaft reeller Zahlen nennt man Vollständigkeit. Auf diese Art kann man die reellen Zahlen als Vervollständigung rationaler Zahlen ansehen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tico
Man bestimmt ein und sucht den zugehörigen Index , sodass für alle nachfolgenden Indizes der Abstand der Folgenglieder niemals größer als .


Das stimmt so nicht. Das würde heißen, es gibt ein und ein mit diesen Eigenschaften. Für eine Cauchyfolge muß es aber zu jedem beliebig kleinen ein davon abhängiges geben. Das ist eine viel schärfere Forderung.
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Elvis
Zitat:
Original von Tico
Man bestimmt ein und sucht den zugehörigen Index , sodass für alle nachfolgenden Indizes der Abstand der Folgenglieder niemals größer als .


Das stimmt so nicht. Das würde heißen, es gibt ein und ein mit diesen Eigenschaften. Für eine Cauchyfolge muß es aber zu jedem beliebig kleinen ein davon abhängiges geben. Das ist eine viel schärfere Forderung.


Ja, so habe ich das gemeint, ich hätte mich wahrscheinlich genauer ausdrücken müssen.
Aber eine andere Frage: Ist mit der Abstand der Folgenglieder, der kleiner als sein muss:
1.) der Abstand von jedem nachfolgenden, also z.B. zu unserem oder...
2.) jeweils der Abstand von zwei Folgenglieder, also z.B. der Abstand von zu , und zu
gemeint.

Und, das mag für dich wahrscheinlich eine blöde Frage (tut mir Leid :-)), aber was genau ist die Menge M?
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Noch etwas: Wie genau geht man beim Rechnen vor, wenn man mithilfe des Cauchy-konvergenzkriteriums die Konvergenz einer bestimmte Folge nachweisen will?
Also, die Rechenwege sind mir schon klar ( suchen -> dazu finden -> beweisen, dass der Abstand der folgenden Glieder nie größer als ist -> beweisen, dass dies für jedes beliebig kleine möglich ist), aber wie beweist man das?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts was du fragst klingt blöd sondern zeigt nur weiteren Klärungsbedarf. "Wer nicht fragt, bleibt dumm" (Zitat aus der Sesamstrasse).

Erst mal zu Cauchyfolgen. Für jedes gibt es ein , das von abhängt (je kleiner das gewählt wird, desto größer muss man das wählen), für alle n,m größer als wird der Abstand zwischen und kleiner als (also für auch der Abstand zwischen und ).

... suchen, finden ... bringt nichts. Das Cauchy-Kriterium muss für jedes gelten.
Also: Beliebig kleines wählen (so etaws wie eine Variable, die immer kleiner werden kann, man kann sich das vorstellen wie die Glieder einer Nullfolge, die werden immer kleiner), dann zu einem fest gewählten ein dazu passendes suchen, so dass das Cauchykriterium gilt.

Ein Beispiel für relle Dezimalzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen. Für jedes gibt es eine natürliche Zahl , so dass . Was noch weiter rechts nach dieser Dezimalstelle kommt, kann insgesamt nur noch kleiner sein. Also ist jede unendliche Dezimalzahl eine Cauchyfolge rationaler Zahlen.

An diesem Beispiel sieht man auch, dass es darauf ankommt, in welcher Menge die Zahlen liegen (wir reden jetzt über "M"). Mit den Dezimalzahlen haben wir Cauchfolgen , es muss aber kein Grenzwert in vorhanden sein. Wenn die Dezimalzahl (Cauchyfolge) einen Grenzwert in hat, so nennen wir ihren Wert eine rationale Zahl (z.B. ist ) , und die Folge nennen wir konvergent. Wenn die Dezimalzahl (Cauchyfolge) keinen Grenzwert in hat, so ist die Folge nicht konvergent in . Aber sie hat einen reellen Grenzwert in , ist also konvergent in , den Wert nennen wir relle Zahl, oder noch genauer irrationale Zahl, weil sie in liegt.
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal eine Frage: =)
Kann man denn auf Zeitreihen Konvergenzkriterien anwenden?
Tico Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tico
Ich habe nochmal eine Frage: =)
Kann man denn auf Zeitreihen Konvergenzkriterien anwenden?

Hat sich erledigt danke. Natürlich geht das ;-)
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