Beweisaufgabe für gleichförmige Verteilung

30.12.2009, 13:10

JanaS

Beweisaufgabe für gleichförmige Verteilung

Hallo!

Ich habe mal wieder eine Beweisaufgabe und mit diesem Typ Aufgaben stehe ich auf Kriegsfuss. Hier weiss ich wieder mal nicht, wo ich anfangen soll und wo ich enden soll...

Nimm an, dass ( $\begin{eqnarray*} X_{1} ,X_{2} ,...X_{n}) \end{eqnarray*}$ eine Stichprobe von $\begin{eqnarray*} X\in U(0,1) \end{eqnarray*}$ ist und lasse
$\begin{eqnarray*} m_{1} =\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n e^{X_{i} } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} m_{2} =(\prod_{i=1}^n X_i)^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ sein.

(a) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} E(m_{1} )=e-1 \end{eqnarray*}$ und dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} E(m_{2} )=e^{-1} \end{eqnarray*}$ .

(b) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} V(m_{2} )=(\frac{n}{2+n} )^n-(\frac{n}{1+n} )^{2n} \end{eqnarray*}$ ist.

(c) Berechne $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } nV(m_{1} ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } nV(m_{2} ) \end{eqnarray*}$ .
Tipp: substituiere t=1/n so dass $\begin{eqnarray*} n((\frac{n}{2+n} )^{n} -(\frac{n}{1+n})^{2n})=\frac{1}{t}(e^{-\frac{1}{t}ln(1+2t) } -e^{-\frac{2}{t} ln(1+t)}) \end{eqnarray*}$ und taylorentwickle $\begin{eqnarray*} ln(1+\frac{2}{t} ) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} ln(1+\frac{1}{t} ) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe hier absolut keine Ahnung, was ich tun soll und wie ich das tun soll. Taylorentwicklung kann ich nicht :-(. Und den Rest auch nicht. Aber ich muss diese Aufgabe lösen...

Vielen Dank schonmal und viele Grüsse, Jana

30.12.2009, 15:06

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RE: Beweisaufgabe für gleichförmige Verteilung
Aufgrund der identischen Verteilung ist in (a) lediglich

$\begin{eqnarray*} E(m_1) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_i) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E(X_1) = E(X_1) \end{eqnarray*}$

zu berechnen, und das geht ja über

$\begin{eqnarray*} E(X_1) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ e^t \cdot f_{X_1}(t) ~ \dd t = \int\limits_0^1 ~ e^t ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ,

sowie aufgrund der Unabängigkeit auch

$\begin{eqnarray*} E(m_2) = \prod\limits_{i=1}^n E\left( X_i^{\frac{1}{n}} \right) = \left( E\left( X_1^{\frac{1}{n}} \right) \right)^n \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} E\left( X_1^{\frac{1}{n}} \right) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} ~ t^{\frac{1}{n}} \cdot f_{X_1}(t) ~ \dd t = \int\limits_0^1 ~ t^{\frac{1}{n}} ~ \dd t \end{eqnarray*}$ .

Bei b) nutze $\begin{eqnarray*} V(m_2) = E(m_2^2)-(E(m_2))^2 \end{eqnarray*}$ mit dann $\begin{eqnarray*} m_2^2 = \left( \prod_{i=1}^n X_i \right)^{\frac{2}{n}} \end{eqnarray*}$ und analoger Erwartungswertrechnung wie in a).

Zitat:

Original von JanaS
Taylorentwicklung kann ich nicht :-(

Wieso nicht? Dann schlag es nach - wenn ich mich nicht täusche, wird das Thema schon im Gymnasium zumindest angerissen.

Im übrigen braucht man diese Taylorentwicklung gar nicht, sondern nur den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} \left( 1 + \frac{1}{k} \right)^k = e \end{eqnarray*}$ .

02.01.2010, 16:58

JanaS

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Stimmt es, dass der Grenzwert für V(m1) unendlich ist und für V(m2) ist er 1?

Ich weiss nicht so genau, wie ich Deinen Tipp mit dem Grenzwert verwursten soll, weil ich ja $\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})^n \end{eqnarray*}$ habe und nicht umgekehrt.

02.01.2010, 17:24

JanaS

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Vergesst das Posting hier vor. Ich kann es leider nicht mehr löschen.
Also für V(m1) habe ich nach wie vor unendlich als Grenzwert.

Bei V(m2) stehe ich irgendwie auf dem Schlauch. Warum soll ich $\begin{eqnarray*} ln(1+\frac{2}{t}) \end{eqnarray*}$ entwickeln, wenn in der Formel $\begin{eqnarray*} ln(1+2t) \end{eqnarray*}$ vorkommt? Die Taylorentwicklungen wären auf jeden Fall 2/t bzw. 2t.

05.01.2010, 00:12

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Zitat:

Original von JanaS
Also für V(m1) habe ich nach wie vor unendlich als Grenzwert.

Das ist sicher falsch - wo du dich vertan hast, kann ich dir leider nicht sagen, da du hier immer nur falsche Ergebnisbrocken hinwirfst, statt deine Rechnungen darzulegen.

Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ die Summe unabhängig, identisch verteilter Zufallsgrößen, und für solche folgt durch eine kleine Rechnung unmittelbar

$\begin{eqnarray*} V(m_1) = n\cdot V\left(\frac{X_1}{n} \right) = \frac{1}{n} \cdot V\left( X_1 \right) \end{eqnarray*}$ .

Zu den weiteren nur losen bruchstückhaften Gedanken von dir äußere ich mich erst, wenn du das ganze mal etwas klarer präsentierst.

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