Grenze des Integrals bei gegebenem Wert bestimmen. Problem: Integrand ist Produkt

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Grenze des Integrals bei gegebenem Wert bestimmen. Problem: Integrand ist Produkt
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:
Bestimme a:



Dabei ist mein Problem, dass ich im Integranden ein Produkt habe. Hätte ich kein Produkt, könnte ich hier ja einfach aufleiten, die Grenzen einsetzen und dann a berechnen.
Aber da ich beim Ableiten eines Produktes ja die Produktregel anwenden muss, kann ich hier nicht so einfach die Stammfunktion bilden...

Wie könnte ich das denn berechnen?

Geht das vielleicht irgendwie über partielle Integration oder zeichnerisch, indem ich setze und den Schnittpunkt berechne?
Hier habe ich und
Allerdings habe ich das Integral ja dann gar nicht beachtet... Ich weiß aber nicht, wie ich die Aufgabe sonst lösen könnte.

Hat mir da jemand einen Tipp?


Gruß,
Duude
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenze des Integrals bei gegebenem Wert bestimmen. Problem: Integrand ist Produkt
Das siehst du richtig, du darfst nicht einfach beide Faktoren integrieren. Du benötigst die partielle Integration, kennst du die?
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die kenne ich...
Ich habe das Produkt jetzt einmal mit der partiellen Integration berechnet und bin auf das hier gekommen:

[attach]12716[/attach]

Nun weiß ich aber nicht weiter. Wie könnte ich nun x rausfinden. Ich bekomme den sinus und cosinus einfach nicht raus. Sie fallen ja auch nicht über irgendwelche Additionstheoreme heraus.

Ich habe mittlerweile durch Ausprobieren eine Lösung gefunden und zwar passt x=5,2 ungefähr.. Wenn ich diesen Wert hier einsetze, komme ich auf der linken Seite aber nicht auf 1, also muss ich mich wohl irgendwo verrechnet haben...
Habe ich die partielle Integration richtig angewandt?

Nachtrag: Ich habe die Klammern um den Integranden vergessen, die müssten hier eigentlich noch überall hin..
wisili Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenze des Integrals bei gegebenem Wert bestimmen. Problem: Integrand ist Produkt
Deine Rechnung stimmt. Allerdings hätte die obere Grenze a heissen sollen,
sodass a und nicht x die Lösungsvariable der Gleichung wird.
Was diese Gleichung angeht: Man nennt sie transzendent, denn sie übersteigt
alle algebraischen Möglichkeiten. Man kann sie nur näherungsweise lösen.
Für einen Ueberblick über die Lösungen würde ich 1 subtrahieren und dann
die linke Seite als Funktion plotten. Ihre Nullstellen lösen die Gleichung.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenze des Integrals bei gegebenem Wert bestimmen. Problem: Integrand ist Produkt
Ich möchte nochmal auf einen Punkt eingehen (nachdem die Aufgabe ja fast gelöst ist):

Zitat:
Original von Duude
Geht das vielleicht [..] zeichnerisch, indem ich setze und den Schnittpunkt berechne?


Was genau stellst du dir da vor?
Mir schwarnt, da war ein übler Denkfehler drin. Hoffentlich hat der sich schon von alleine geklärt. Augenzwinkern

air
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

@wisili, ja da hast du Recht, die obere Grenze sollte a heißen und dann steht nachdem ich die Grenze ins Integral eingesetzt habe überall a statt x.

Ok, wenn ich das ganze also nicht rechnerisch lösen kann, muss ich auf jeden Falle eine zeichnerische Lösung wählen, ob nun zum Berechnen der Nullstellen um die Lösung anzunähern oder gleich von Anfang an graphisch.

@Airblader, ja, das habe ich mittlerweile entdeckt. Da muss ich natürlich noch das Integral davorschreiben. Dann ändern sich auch die beiden Lösungen, die ich ganz am Anfang angegeben habe.

Ich gebe also in den GTR die beiden Funktionen
und ein und berechne den Schnittpunkt.

Was mich noch stört ist, dass ich hier als obere Grenze x einsetze und auch als Variable x habe. (ich kann ja nur eine Variable eingeben und das war ja gerade das was wisili in meinem letzten Eintrag kritisiert hat) Aber wenn ich es so eingebe, bekomme ich als Ergebnis und . Und diese Lösungen stimmen laut der Probe mit Einsetzen.

Aber warum darf ich hier (also bei der Eingabe im GTR) statt der oberen Grenze a einfach ein x einsetzen, obwohl ich noch die Variable x habe? Und darf ich das immer machen?

Dann noch was zu den Lösungen... Kann es sein, dass unendlich viele Lösungen existieren und eben nur die ersten mit dem GTR angezeigt werden? Ich habe hier ja sinus und cosinus drin, die ja oszillieren und dann müsste es immer mehr Lösungen geben, die weiter hinten immer weiter auseinander liegen.
Was meint ihr dazu?
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

x einzusetzen ist falsch, ebenso sind es deine Ergebnisse.
Wo hast du sie zum Überprüfen eingesetzt? In deine "falsche" Formel? Dann ist ja klar, dass das nix wird. Augenzwinkern

Mit Maple erhalte ich spontan u.a.:
-2.2216...
4.95...
-10.701....

Gibt aber noch weitere (und ja - ich denke, unendlich viele).

Die Frage "Und darf ich das immer machen?" dürfte damit klar mit "Nein, du darfst es nie machen!" beantwortet sein.

air
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
x einzusetzen ist falsch, ebenso sind es deine Ergebnisse. Wo hast du sie zum Überprüfen eingesetzt? In deine "falsche" Formel? Dann ist ja klar, dass das nix wird. Augenzwinkern

Mich hats sowieso schon gewundert, dass das stimmen soll. Ich habe die Ergebnisse aber für die obere Grenze a in die Ausgangsfunktion eingesetzt und bin ungefähr auf 1 gekommen. Ich dachte die kleinen Fehler seien Rundungsfehler, aber das waren sie anscheinend doch nicht.

ok, ich komme wenn ich die Funktion die ich nach der partiellen Integration erhalte eingebe und die Nullstellen berechne, auf die gleichen Werte wie du.
z.B. x=4,9509
x=7,4305
x=11,099

Ich bekomme die Ergebnisse aber noch nicht über das Gleichsetzen von der Integralfunktion und 1.
Im Lösungsbuch steht nämlich, dass man das so machen soll. (was natürlich auch viel schneller gehen würde als partiell zu integrieren )
Ich darf also in die Grenze nicht einfach x einsetzen, aber was kann ich denn stattdessen dort hinschreiben?
Also wie bekomme ich die Aufgabe übers Gleichsetzen gelöst?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich darf also in die Grenze nicht einfach x einsetzen, aber was kann ich denn stattdessen dort hinschreiben?


Um ehrlich zu sein verstehe ich das Problem nicht.
'x' geht halt nicht! Aber ob da statt a nun b oder Gamma steht ist unwichtig. Aber eben nicht x!

Wenn dein TR damit nicht umgehen kann, kann er es eben nicht und du musst partiell integrieren und die Gleichung dann mit dem TR lösen. Augenzwinkern

Prinzipiell funktioniert das mit dem Gleichsetzen schon. Beachte aber, dass die eine Funktion dann eine Funktion in a, nicht in x ist!
Sollte dich dein TR zu x als Variable zwingen, dann so:



air
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die vielen oben genannten Einsetzungen nicht überprüft.
Es ist aber klar, dass unendlich viele Lösungen existieren und
dass sie «im Bogenmass» zu deuten sind.
(Beim Einsetzen mit dem Taschenrechner ist der Winkelmodus
auf RAD, nicht DEG einzustellen.)
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Alles korrekt.
Der wichtigste Punkt, den du aus meinem letzten Post jedoch hättest nehmen sollen, ist die Tatsache, dass es eine Funktion in a ist, also die Veränderliche muss die Integralgrenze sein.

air
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich habe jetzt alles verstanden. Das partielle Integrieren klappt, die einzige Veränderliche ist die obere Grenze, sonst darf ich nichts als x bezeichnen und ich habe den GTR auf RAD eingestellt.
Trotzdem bekomme ich das mit meinem GTR nicht hin.
Ich habe den Rechner von SHARP EL-9900 und mittlerweile die halbe Bedienungsanleitung gelesen, aber auch da nichts gefunden...

Ich kann (soweit ich weiß) nur eine Variable verwenden.. also x. Das habe ich jetzt als obere Grenze eingegeben.




Aber ich kann auch kein t eingeben. Nur ein großes T und für das muss ich irgendeinen Zahlenwert eingeben...
Ich habe da jetzt einfach mal nichts für T eingegeben und eine Gerade erhalten, die die x-Achse bei - pi schneidet und das kann ja irgendwie nicht stimmen, da es ja mehrere Lösungen gibt...

Das muss doch irgendwie gehen - auch ohne partielle Integration...
wisili Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst klappt die partielle Integration. Dann sollte es aber ohne gehen. Was nun?
Für t muss sicher nichts eingegeben werden, t ist ja im Integral gebundene Variable.
Den Funktionsterm f(x) kennst du längst (Schluss des oben schon hochgeladenen Anhangs).
Es kann nur noch um die numerische Lösungssuche für f(x) = 1 gehen.

[attach]12808[/attach]
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