Matrizengleichung auflösen

31.12.2009, 14:27

rammstein315

Matrizengleichung auflösen

Hallo,

Folgende Matrizengleichung soll nach X aufgelöst werden:

$\begin{eqnarray*} A+X-X*A=0 \end{eqnarray*}$

dabei ist $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab versucht
$\begin{eqnarray*} X(E-A)=-A \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X=-A*(E-A)^{-1} \end{eqnarray*}$

das ist wohl aber nicht wirklich richtig unglücklich

Geht das mit dem X ausklammer überhaupt ?

mfg

Danke für die mühe und guten Rutsch

31.12.2009, 14:36

Cel

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Also, ich hab das mal eben mit MATLAB überprüft, da kommt dann schon die Nullmatrix raus.

Alle deine Umformungen sind auch korrekt, das Distrubutivgesetz gilt auch bei Matrizen.

31.12.2009, 14:37

rammstein315

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OK

$\begin{eqnarray*} X=(E-A)^{-1}*(-A) \end{eqnarray*}$

scheint richtig zu sein aber wieso steht das $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auf der rechten seite und nicht auf der linken?

31.12.2009, 14:45

rammstein315

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Ganz formal sieht das doch so aus

$\begin{eqnarray*} X*(E-A)*(E-A)^{-1}=-A*(E-A)^{-1} \end{eqnarray*}$

das kommt doch von rechts das $\begin{eqnarray*} (E-A)^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

Aber wieso stimmts nicht auf der rechten Seite ?

31.12.2009, 14:48

Cel

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Woher nimmst du die Erkenntnis? Ich bin mir ziemlich sicher, dass dein erster Vorschlag richtig ist, könnte natürlich auch sein, dass ich einen Denkfehler habe ... verwirrt

31.12.2009, 14:51

rammstein315

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Ich überprüfe das auch immer mit mathcad ? und wenn ich das -A vor die Inverse setze bekomme ich keine Nullmatrix raus ?

31.12.2009, 14:54

Cel

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Ich schon. Weisst du was? Wir rechnen das noch mal beide von Hand nach! smile

Edit: Dein erster Vorschlag ist vollkommen richtig und führt zum richtigen Ergebnis!

code:

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octave-3.0.2:7> A = [2 0 1; 0 2 2; 2 3 7]
A =

   2   0   1
   0   2   2
   2   3   7

octave-3.0.2:8> X = [1 -3/2 1/2; -2 -1 1; 1 3/2 1/2]
X =

   1.00000  -1.50000   0.50000
  -2.00000  -1.00000   1.00000
   1.00000   1.50000   0.50000

octave-3.0.2:9> A+X
ans =

   3.0000  -1.5000   1.5000
  -2.0000   1.0000   3.0000
   3.0000   4.5000   7.5000

octave-3.0.2:10> A*X
ans =

   3.0000  -1.5000   1.5000
  -2.0000   1.0000   3.0000
   3.0000   4.5000   7.5000

31.12.2009, 15:20

rammstein315

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Ja ich hab den Fehler entdeckt scheint ein bug im programm zu sein ...

Es scheint also das $\begin{eqnarray*} -A*(E-A)^{-1}=(E-A)^{-1}*(-A) \end{eqnarray*}$

Ich wüsst noch gerne warum bzw. wo ich die Inverse formal hätte hinschreiben müssen links oder rechts von A ?

31.12.2009, 15:43

Cel

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Zitat:

Original von rammstein315
Es scheint also das $\begin{eqnarray*} -A*(E-A)^{-1}=(E-A)^{-1}*(-A) \end{eqnarray*}$

Ja, manche Matrizen erfüllen diese Gleichung. Sie ist aber NICHT allgemeingültig.

Die Inverse muss rechts stehen, wie du es in deinem ersten Post geschrieben hast.

02.01.2010, 19:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Mr. Brightside

Zitat:

Original von rammstein315
Es scheint also das $\begin{eqnarray*} -A*(E-A)^{-1}=(E-A)^{-1}*(-A) \end{eqnarray*}$

Ja, manche Matrizen erfüllen diese Gleichung. Sie ist aber NICHT allgemeingültig.

Die Inverse muss rechts stehen, wie du es in deinem ersten Post geschrieben hast.

Unsinn! Entschuldige, aber natürlich ist diese Gleichung allgemeingültig (natürlich nur, falls E - A invertierbar ist). Das folgt schlicht und einfach daraus, dass A mit sich selbst kommutiert.

02.01.2010, 19:26

Cel

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Hupps, Verzeihung. Hast ja recht. Ich hab nur Multiplikation gesehen und sofort schrillten die Alarmglocken.

04.01.2010, 00:35

WebFritzi

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Ist ja auch prinzipiell richtig. Augenzwinkern

04.01.2010, 17:19

rammstein315

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Zitat:

Original von WebFritzi
Unsinn! Entschuldige, aber natürlich ist diese Gleichung allgemeingültig (natürlich nur, falls E - A invertierbar ist). Das folgt schlicht und einfach daraus, dass A mit sich selbst kommutiert.

Jetzt habe ich es auch verstanden Freude

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