Grenzwert mit Wurzel

31.12.2009, 14:52

Icewind

Grenzwert mit Wurzel

Hi,

Die Aufgabe:
Sei a(n) eine reelle Nullfolge mit höchstens endlich vielen Nullstellen.
Zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~\sqrt{1+a_n}=1 \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag: Einschließungsregel, dazu müsste ich ja ne größere Folge finden, die gegen 1 konvergiert und ne kleinere, die gegen 1 konvergiert, oder?

31.12.2009, 15:23

wisili

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RE: Grenzwert mit Wurzel
--

31.12.2009, 15:28

wisili

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RE: Grenzwert mit Wurzel
Oder kennst du sogenannte Grenzwertsätze?
(Limes der Wurzel ist die Wurzel des Limes.)
(Limes der Summe ist die Summe der Limites.)

31.12.2009, 15:32

Mystic

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RE: Grenzwert mit Wurzel

Zitat:

Original von wisili
Oder kennst du sogenannte Grenzwertsätze?
(Limes der Wurzel ist die Wurzel des Limes.)
(Limes der Summe ist die Summe der Limites.)

Hat jetzt mehr was damit zu tun, dass die involvierten Funktion stetig sind... Zumindestens für die Wurzelfunktion betrifft, gehört das m.E. nicht mehr zu den "Grenzwertsätzen"...

Edit: Bei dieser Aufgabe stellt sich überhaupt die Frage, was man voraussetzen darf und was nicht... Wenn man hier die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ voraussetzt, dann bleibt ja gar nichts mehr zu zeigen...

31.12.2009, 15:35

Icewind

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Grenzwertsätze ham wir gemacht für Summen, Produkte, Quotienten und Konjugationen, nicht für Wurzeln.
Gibts da auch einen Satz?

31.12.2009, 15:37

Mystic

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Eben nicht, das ist aber äquivalent zur Stetigkeit der Wurzelfunktion in allen Punkten des Definitionsbereiches...

31.12.2009, 15:37

Icewind

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Also mal zur Aufgabe: Das 1 rauskommen muss, ist ja klar. Das ist ja auch nicht der Sinn der Aufgabe. Der Sinn ist, dass man den Limes nicht unter die Wurzel ziehen darf (laut prof) und diesen grenzwert deshalb beweisen muss (obwohl er recht offensichtlich ist)

31.12.2009, 15:52

tmo

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Es lässt sich mit Hilfe der dritten binomischen Formel zeigen:

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{1+a_n}-1| \leq |a_n| \end{eqnarray*}$ .

Damit ist die Sache quasi erledigt.

01.01.2010, 15:18

wisili

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RE: Grenzwert mit Wurzel
Aus dem Produktsatz (2)) folgt ein Quadratsatz (Spezialfall von (6)) und aus diesem
unmittelbar ein Quadratwurzelsatz (Spezialfall von (7))).

[attach]12725[/attach]

01.01.2010, 16:05

Mystic

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RE: Grenzwert mit Wurzel
Hmm,...ich bin mir ziemlich sicher, dass es die Intention des Aufgabenstellers war, dass man dieses Beispiel "zu Fuß" rechnen sollte, z.B. indem man zeigt, dass

$\begin{eqnarray*} d_n:=\sqrt{1+a_n}-1 = a_n \, \frac {\sqrt{1+a_n} -1}{(1+a_n)-1} \end{eqnarray*}$

eine Nullfolge ist... Diese Folge ist gemäß den Voraussetzungen ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sicher definiert, was hier jedenfalls ausreicht...

Edit: Sehe gerade, dass dies genau dem Vorschlag von tmo entspricht, mit einem Zwischenschritt ausgeführt...

01.01.2010, 16:55

Icewind

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wie soll ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} d_n:=\sqrt{1+a_n}-1 = a_n \, \frac {\sqrt{1+a_n} -1}{(1+a_n)-1} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist? Da hab ich ja dasselbe Problem wie bei der ursprünglichen Aufgabenstellung.

01.01.2010, 16:58

Airblader

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Also komm, mehr kann man ja nun wirklich nicht helfen, ohne dass du einfach mal anfängst. unglücklich

Dir wurde die Aufgabe nun in eine angenehmere Form umgeschrieben, du hast die Information über die Folge aus der Aufgabenstellung und von tmo sogar eine Abschätzung serviert bekommen.

Sollte ja wohl kein Problem sein, sich damit nunmal auseinanderzusetzen, einfach anzufangen und zu versuchen, die Konvergenz (zur Null) zu zeigen. Augenzwinkern

Genaugenommen ist die Aufgabe schon völlig abgearbeitet. Du musst aus tmos Abschätzung - oder nach kurzer Überlegung von obiger "Umschreibung" - nur noch die Information der Aufgabe verwenden und bist fertig.

air

01.01.2010, 17:20

Mystic

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Zitat:

Original von Airblader
Also komm, mehr kann man ja nun wirklich nicht helfen, ohne dass du einfach mal anfängst. unglücklich

Dem kann ich mich nur anschließen...tmo hat dir außer der Endabschätzung auch noch gesagt, mit welcher Umformung es weiter geht...

Aber wie heißt es im Englischen so schön: "You can lead a horse to the water, but you can't make him drink"... (OT: Gibt's dafür eigentlich ein deutsches Pendant? verwirrt

)

01.01.2010, 17:54

Icewind

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ok, dann bin ich mal gespannt, was ich falsch mach, dass ich nicht auf ne wahre aussage komm:

Abschätzung $\begin{eqnarray*} |\sqrt{1+a_n}-1| \leq |a_n| \end{eqnarray*}$
Da a(n) nur endlich viele Nullstellen hat, muss für ein n>N die Folge $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a_n < 0 \end{eqnarray*}$ sein. (Bis hierhin richtig?)

1.Fall $\begin{eqnarray*} a_n > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+a_n}-1 \leq a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{\sqrt{1+a_n}+1} \leq a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \geq -1 \end{eqnarray*}$

2.Fall $\begin{eqnarray*} a_n < 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1-\sqrt{1+a_n} \leq -a_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_n \leq -1 \end{eqnarray*}$ Widerspruch. Aber es kann ja nicht nur der 1. Fall eintreten.

01.01.2010, 18:06

Airblader

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Ich mache jetzt mal eine simple Null, über die du nachdenken kannst:

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{1+a_n}-1| \leq |a_n| = |a_n - 0| \end{eqnarray*}$

Jetzt betrachte den Term ganz rechts. Woher kennst du das, und was weißt du laut Aufgabenstellung?

P.S.: Diese Abschätzung solltest du in der endgültigen Lösung aber auf jeden Falll begründen!

air

02.01.2010, 13:18

Icewind

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@ Airblader

Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} |a_n-0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ wird und damit konvergiert. mit dieser abschätzung konvergiert dann natürlich auch meine wurzelfolge.
aber wie begründe ich die abschätzung?

Ich hab sie wie oben im beitrag nachgerechnet und komme auf einen widerspruch, also darf ich sie meiner meinung nach nicht machen. wo ist da mein denkfehler? Hammer

02.01.2010, 13:40

Airblader

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RE: Grenzwert mit Wurzel
Richtig - so kannst du Konvergenz begründen!
Fehlt also noch die verwendete Abschätzung. Betrachte das, was Mystic gepostet hat:

Zitat:

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} d_n:=\sqrt{1+a_n}-1 = a_n \, \frac {\sqrt{1+a_n} -1}{(1+a_n)-1} \end{eqnarray*}$

Wenn du die rechte Seite nicht nachvollziehen kannst, teile doch einfach mal durch a_n (wir nehmen natürlich a_n <> 0 an, was wir aber nach Aufgabe für große n dürfen!) und dann solltest du es sehen.

Jetzt musst du nur begründet, dass der Bruch auf der rechten Seite kleiner als 1 wird - dies liefert dann ja sofort die Abschätzung. Und das ist nun wirklich kein großes Ding. Augenzwinkern

air

02.01.2010, 13:58

Mystic

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RE: Grenzwert mit Wurzel
@Icewind

Mal ganz einen naive Frage: Würdest du einen Ausdruck wie

$\begin{eqnarray*} \frac {a^2-b^2}{a-b} \end{eqnarray*}$

so stehen lassen oder würdest du kürzen?... Ich frage so, weil ich den Eindruck habe, du stehst bei meinem Lösungsansatz endlos "auf der Leitung"...

02.01.2010, 14:41

Icewind

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Achso, ich glaub ich habs jetz.

Original von Mystic
$\begin{eqnarray*} d_n:=\sqrt{1+a_n}-1 = a_n \, \frac {\sqrt{1+a_n} -1}{(1+a_n)-1} \end{eqnarray*}$

Das ist ja nur mit $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_n+1-1} \end{eqnarray*}$ erweitert
(oder auch mit dem 3. binom $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+a_n}-1 = \frac{a_n}{\sqrt{1+a_n}+1} \text{und dann mit} \frac{\sqrt{1+a_n}-1}{\sqrt{1+a_n}-1} \text{erweitert} \end{eqnarray*}$ )

und bei dem bruch
$\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{1+a_n} -1}{(1+a_n)-1} \end{eqnarray*}$ ist der Zähler immer größer als der Nenner, also insgesamt <1, damit kann ichs nach $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ runterkloppen.

thx für die Geduld Gott

02.01.2010, 14:43

Airblader

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In deinem letzten Satz hast du was durcheinandergeworfen, aber sicher nur vertippt. Augenzwinkern

air

02.01.2010, 15:06

Icewind

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ups, ja nur vertippt. ^^
zähler ist immer kleiner als der nenner

02.01.2010, 16:02

Mystic

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Zitat:

Original von Icewind
und bei dem bruch
$\begin{eqnarray*} \frac {\sqrt{1+a_n} -1}{(1+a_n)-1} \end{eqnarray*}$ ist der Zähler immer größer als der Nenner, also insgesamt <1, damit kann ichs nach $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ runterkloppen.

Kannst du mir eigentlich sagen, warum du dich derart beharrlich weigerst, diesen Bruch zu kürzen, und zwar gemäß der 3. Binomischen Formel durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+a_n} -1 \end{eqnarray*}$ , wie ich das in meinem letzten Posting schon angedeutet habe... Das würde doch alles um soviel einfacher machen...

02.01.2010, 17:50

Icewind

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sorry für meine "weigerung" durch nichtraffen. du meinst also:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1+a_n}-1=a_n*\frac{1}{\sqrt{1+a_n}+1} \end{eqnarray*}$

hätte ich das gleich gesehn, wäre die ganze sache einfacher gewesn ^^

noch ne frage dazu: es ist ja nur wichtig, dass der Bruch hier gegen nen festen wert konvergiert, nicht aber dass er <1 ist?

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