Stetigkeit

31.12.2009, 15:31

lipgoi

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Stetigkeit

Hallo zusammen, ich bin neu hier und habe folgendes Problem:

Wir haben folgende Definition:

Sei $\begin{eqnarray*} E \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:E -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Funktion.

Die Funktion F heißt stetig, wenn

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon \ > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \forall x \in E \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} \forall y \in E \end{eqnarray*}$

gilt:

$\begin{eqnarray*} |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x)-f(y)|< \varepsilon \end{eqnarray*}$

Nun soll ich zeigen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x² \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = |x² - y²| = |x - y| * |x + y| \leq \delta * |x + y| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\varepsilon}{|x + y|} \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so wähle das es $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{|x + y|} \end{eqnarray*}$ ist, hab ich dann gezeigt, dass die Funktion stetig ist.

Vielleicht kann mir ja ainer weiterhelfen.

lg Lisa

31.12.2009, 15:38

giles

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Weder delta noch epsilon dürfen von x abhängen. Du zeigst stetigkeit in y, also darfs es von y abhängen. Wäre es gleichmäßige Stetigkeit, dann wäre nicht mal das erlaubt.

Du hast es aber fast geschafft, bedenke dass $\begin{eqnarray*} |x+y|=|x-y+2y|\leq|x-y|+|2y| \end{eqnarray*}$

31.12.2009, 16:11

lipgoi

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Danke für die schnelle Antwort.

Also wenn ich hier weiter mache:

$\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\varepsilon}{|x + y|} \end{eqnarray*}$ und die Dreiecksungleichung auf $\begin{eqnarray*} |x + y| \end{eqnarray*}$ anwende so wie du geschrieben hast. Dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\varepsilon}{|x + y|} \leq \frac{\varepsilon}{\delta + 2|y|} \end{eqnarray*}$

Also wähle ich dann mein $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\varepsilon}{\delta + 2|y|} \end{eqnarray*}$

Kann aber irgendwie auch nicht sein. Dann hängt ja $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ab.

Irgendwie hab ich das noch nicht so ganz verstanden mit stetig in einem Punkt, stetig, gleichmäßig stetig.

ok stetig ist eine lokale Eigenschaft und gleichmäßig stetig eine globale Eigenschaft. Aber worauf muß ich denn genau achten. Wann darf was von was abhängen usw?

Von der Schule her weiß ich nur stetig = man kann den Funktionsgraphen durchgehend zeichnen smile

smile

lg Lisa

31.12.2009, 16:32

giles

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Ich persönlich würde nicht durch $\begin{eqnarray*} |x+y| \end{eqnarray*}$ teilen wollen. Du hast
$\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\varepsilon}{\delta + 2|y|}\Leftrightarrow \delta ^2 + \delta |2y| < \varepsilon \end{eqnarray*}$
Wenn du $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ jetzt waaahnsinnig klein wählst geht das gegen 0 also ist insbesondere $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Du kannst das jetzt auch als quadratische Gleichung ansehen mit $\begin{eqnarray*} \delta ^2 + \delta |2y| = \varepsilon \end{eqnarray*}$ und das nötige $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ angeben. Ist vielleicht sogar schöner.

31.12.2009, 16:50

lipgoi

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Hallo,

Ich verstehe, wie du zu: $\begin{eqnarray*} \delta ^2 + \delta |2y| = \varepsilon \end{eqnarray*}$ kommst aber, ich muß doch ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben oder nicht?

Also bei uns in den Übungen, bestimmen die Übungsleiter das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ direkt am Anfang. Ich blick da nicht ganz durch, woher das auf einmal kommt.

Muss ich bei Stetigkeit immer drauf achten, dass ich mein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nicht in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sondern von $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wähle?

lg Lisa

31.12.2009, 17:04

giles

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Hallo,

ja das ist Betrug was deine Übungsgruppenleiter machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Man tut so als hätte man gewusst wie $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ zu wählen ist, ist aber nicht so. Das findet man genau so raus wie es hier steht. Du bestimmst hier Stetigkeit im (festen!!!) Punkt $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Im ersten Punkt steht nochmal warum es nicht von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abhängen kann: Es muss für alle $\begin{eqnarray*} x\in E \end{eqnarray*}$ gelten.
Würde es auch für alle (variablen!!!) $\begin{eqnarray*} y \in E \end{eqnarray*}$ gelten, hättest du gleichmäßige Stetigkeit. Das Problem ist, dass $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ eben nicht überall gleichmäßig stetig ist. Das sieht man auch schon wenn man sich den Graphen anguckt: Wenn man es übertreibt mit dem Intervall haut der $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert ab und du kriegst das nicht mehr $\begin{eqnarray*} <\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Siehe z.B. auch http://de.wikipedia.org/wiki/Gleichm%C3%A4%C3%9Fig_stetig , da ist ein Schaubild welches das eben für diese Funktion (so ein Zufall) illustriert.

edit: Ich bin mir nicht sicher, ob du das davor so meintest, aber wenn du $\begin{eqnarray*} \delta ^2 +\delta |2y| - \varepsilon = 0 \end{eqnarray*}$ löst, kriegst du jetzt auch dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ . Wähl es dann noch etwas besser und du hast die Ungleichung.

MfG

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31.12.2009, 17:39

lipgoi

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Ok Super hat mir geholfen.

Ich hab mir mal die Definition von der gleichmäßigen Stetigkeit hergenommen:

$\begin{eqnarray*} \forall\varepsilon>0~\exists\delta>0~\forall x,x_0\in D:\,|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Und versucht für $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nur in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ zu bestimmen. Das war nicht möglich.

Dann habe ich mir ein Intervall vorgegeben:

$\begin{eqnarray*} f (1,5) -> \mathbb R \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} |f(x) - f(y)| = |x² - y²| = |x - y|*|x + y| \leq \delta * 10 < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ich wähle mein $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{\varepsilon}{10} \end{eqnarray*}$ und habe somit gezeigt, dass die Funktion auf dem Interval $\begin{eqnarray*} (1,5) \end{eqnarray*}$ stetig ist, weil ich ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ nur in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ gefunden habe, so dass die Ungleichung gilt.

Richtig?

Ich glaub ich habs langsam verstanden, außer du sagst jetzt das ich spinne geschockt

geschockt

lg Lisa

31.12.2009, 17:45

system-agent

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Ja, das ist alles gut.
Du hast sogar damit gezeigt, dass dein $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (1,5) \end{eqnarray*}$ gleichmässig stetig ist.

Insbesondere ist jede gleichmässig stetige Funktion auch stetig.

31.12.2009, 17:55

lipgoi

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super, danke.

Und wenn ich jetzt zeigen will, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,1) \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig ist. Dann würde es ja reichen, zu zeigen, dass Sie nicht stetig ist. Reicht es da zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in diesem Intervall eine Definitionslücke hat. Oder ist das dann als Beweis nicht ausreichend? Formal würde mir nur einfallen, die Definiton der Stetigkeit zu nehmen und diese zu verneinen.

lg Lisa

01.01.2010, 12:09

system-agent

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Diese Funktion ist in dem Intervall überhaupt nicht definiert.
Wie du selbst sagst, macht die Null Probleme.

Um eine Funktion zu kriegen, die man auf Stetigkeit untersuchen kann, musst du ersteinmal eine haben. Und die hast du so:
$\begin{eqnarray*} f: (-1,0)\cup(0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\mapsto\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ .

Zur Angabe einer Funktion gehört, wie du leicht in der Definition nachlesen kannst, eben nicht bloss eine "Gleichung" oder "Vorschrift", sondern auch Definitions- und Zielmenge.

01.01.2010, 12:47

Mystic

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Ja, die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac 1x \end{eqnarray*}$

(oder allgemeiner, jede rationale Funktion, d.h., jede Funktion die sich als Quotient von Polynomen schreiben läßt) ist überall dort, wo sie definert ist, auch stetig... Und für Stellen, wo sie nicht definiert ist (wie z.B. für x=0 für obiges f(x)) hat es überhaupt keinen Sinn von Stetigkeit zu reden...

Es gibt allerdings eine andere Frage, die damit zusammenhängt und über die man sich Gedanken machen kann, nämlich ob man den Definitionsbereich D, in obigem Beispiel

$\begin{eqnarray*} D = (-1,0) \cup (0,1) \end{eqnarray*}$

nicht auf D=(-1,1) ausdehnen kann, indem man f(x) an der x=0 geeignet definiert... Dafür müsste aber der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac 1x \end{eqnarray*}$

existieren, was aber nicht der Fall ist und nebenbei gesagt auch der Grund dafür ist, dass die Funktion auf obigem D nicht gleichmäßig stetig ist...

01.01.2010, 19:39

lipgoi

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Hallo, danke für die Antworten.

Also wir haben in der Vorlsesung gezeigt, dass Die Funktion $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} ] 0 - \infty) \end{eqnarray*}$ nicht gleichmäßig stetig ist.

Durch Kontraposition haben wir gezeigt, dass aus der Unstetigkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ folgt, dass Sie nicht glm. stetig ist.

Ich hab den Beweis nicht nachvollziehen können und hab deswegen das gepostet, was ich mir überlegt hab.

Ich hab oben das Intervall blöd gewählt, das geb ich zu. Dann würde ja nach euren Schilderungen unser Beweis gar keinen Sinn haben, da die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ im Intervall mit drin ist, aber da nicht sein darf.

Richtig?

lg Lisa

01.01.2010, 19:56

system-agent

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Hier kann niemand etwas zu eurem Beweis sagen, weil wir ihn nicht kennen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Jedenfalls ist es so, dass nur Funktionen stetig sein können und wenn man bloss $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ schreibt, dann ist das keine Funktion.
Wie erwähnt, gehört zu einer Definition der Funktion mehr als nur eine Gleichung.

Beispielsweise sind
$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R\setminus\{0\}\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} g: (0,1)\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$
zwei völlig verschiedene Funktionen.

01.01.2010, 20:15

lipgoi

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ok ok.

smile

ich meinte die Funktion :

$\begin{eqnarray*} f: ] 0 - \infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

macht es hier Sinn, nach Stetigkeit zu fragen?

lg Lisa

01.01.2010, 20:34

Mystic

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Zitat:

Original von lipgoi
ok ok. smile

smile

ich meinte die Funktion :

$\begin{eqnarray*} f: ] 0 - \infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

macht es hier Sinn, nach Stetigkeit zu fragen?

lg Lisa

Nein, macht es nicht, und das wurde hier auch schon gesagt: Der Quotient stetiger Funktionen ist überall dort, wo er definiert ist, von Haus aus stetig, daher ist diese Frage sinnlos...

01.01.2010, 21:16

lipgoi

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Sorry wenn ich zweimal frage unglücklich

unglücklich

Danke für die Antwort...

lg Lisa

02.01.2010, 10:46

system-agent

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@Mystic
Hier hat lipgoi aber die Null ausgeschlossen und die Frage nach der Stetigkeit ist sinnvoll, da die Funktion wohldefiniert ist.

02.01.2010, 11:27

Eierkopf

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Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von lipgoi
ok ok. smile

smile

ich meinte die Funktion :

$\begin{eqnarray*} f: ] 0 - \infty) \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

macht es hier Sinn, nach Stetigkeit zu fragen?

lg Lisa

Nein, macht es nicht, und das wurde hier auch schon gesagt: Der Quotient stetiger Funktionen ist überall dort, wo er definiert ist, von Haus aus stetig, daher ist diese Frage sinnlos...

Nur noch eine Kleinigkeit, damit es keine widersprüchliche Darstellung gibt:

$\begin{eqnarray*} f: ( 0; \infty) \mapsto...~ oder~ f: ~]0;\infty[\mapsto... \end{eqnarray*}$

@Mystic

Sollten wir also keine konkreten Beweise mehr führen müssen, wenn uns eine Verallgemeinerung bekannt ist? Offensichtlich wird doch von lipgoi zunächst Grundlagenarbeit erwartet, bevor die Verallgemeinerung als noch zu beweisen ansteht.

Gruß Ei

02.01.2010, 11:38

Mystic

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Wenn ich hier nicht gänzlich etwas mißverstanden habe, geht es doch hier die ganze Zeit nicht um Stetigkeit, was wie gesagt trivial ist, sondern um gleichmäßige Stetigkeit auch wenn das der Threaderstellerin selber nicht klar sein dürfte...

Und ja, dass Summe, Differenz, Produkt und Quotient (soweit definiert) von stetigen Funktionen wieder stetig sind, sollte man sich ein für allemal überlegen und dann dieses Paket nicht immer wieder "aufschnüren"... Ist halt meine Meinung...

02.01.2010, 11:55

Eierkopf

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Ich musste in der Vorlesung und den Übungen zu Anal I so tun, als hätte ich alles aus der Schulzeit bekanntes wieder vergessen. Das macht auch Sinn, wenn man Überlegungen zum Aufbau des Gebietes macht. Insbesondere bei Mathematik für Anwender trifft man doch viele Studenten mit Grundkursvoraussetzungen an, für die ein mathem Beweis mittlerweile etwas exotisches zu sein scheint.

Gruß Ei

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