Implizites Differentieren

31.12.2009, 15:44

eierkopf1

Implizites Differentieren

Hallo!

Folgendes verstehe ich bei http://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Regel nicht:

Warum gilt hier das zweite Gleichheitszeichen bzw. wie kommt man darauf?
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{\mathrm d}{\mathrm d x} F(x, y(x)) = \frac{\partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial y} \, y' = F_x + F_y\,y' \end{eqnarray*}$

Was partielle Ableitungen usw. sind, weiß ich. Mir geht es nur um dieses eine Gleichheitszeichen.

31.12.2009, 16:11

giles

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Das ist ein totales Differential. Das erste Taylorglied der Funktion ist
$\begin{eqnarray*} F(x+\xi)=F(x)+\langle \nabla F(x),\xi \rangle+o(||\xi||) \end{eqnarray*}$
das ist linear, also genügt der Idee des totalen Differentials
also falls $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ infinitesimal
$\begin{eqnarray*} F(x)=\nabla F(x)\cdot d\vec{x}=F_x dx + F_y dy=F_x dx+F_y \frac{dy}{dx}dx \end{eqnarray*}$
durch $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ teilen liefert den Ausdruck, würde ein Physiker sagen Augenzwinkern

31.12.2009, 16:16

Cordovan

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Als Mathematiker würde ich fragen: ist das nicht einfach nur die Kettenregel?

Cordovan

31.12.2009, 16:24

giles

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Ja und nein. Die dx Schreibweise lässt sich nur mit Taylor rechtfertigen (fand ich zumindest immer).

31.12.2009, 16:37

Cordovan

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So wie ich das sehe folgt die Aussage (die ganz ohne dx auskommt) aus der gewöhnlichen Kettenregel. Oder was übersehe ich da?

Cordovan

31.12.2009, 16:43

system-agent

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Es ist schlicht die Kettenregel, das steht auch im Wikipedia-Artikel dabei.

Zitat:

Original von giles
Das ist ein totales Differential. Das erste Taylorglied der Funktion ist
$\begin{eqnarray*} F(x+\xi)=F(x)+\langle \nabla F(x),\xi \rangle+o(||\xi||) \end{eqnarray*}$
das ist linear, also genügt der Idee des totalen Differentials
also falls $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ infinitesimal
$\begin{eqnarray*} F(x)=\nabla F(x)\cdot d\vec{x}=F_x dx + F_y dy=F_x dx+F_y \frac{dy}{dx}dx \end{eqnarray*}$
durch $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ teilen liefert den Ausdruck, würde ein Physiker sagen Augenzwinkern

Nein, es ist kein totales Differential oder so etwas. Es ist wirklich nur die Kettenregel.
Das was du geschrieben hast ist Unsinn.
$\begin{eqnarray*} F(x)=\nabla F(x)\cdot d\vec{x} \end{eqnarray*}$
hat einfach keine Bedeutung.
Und wenn man mal das erste und letzte Ding in der Gleichungskette vergleicht, dann steht da
$\begin{eqnarray*} F(x)=F_x dx+F_y \frac{dy}{dx}dx \end{eqnarray*}$
und das würde heissen, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ genau eine 1-Differentialform ist. Das ist falsch.

31.12.2009, 16:53

Cordovan

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Explizit: mit $\begin{eqnarray*} g(x):=(x,y(x)) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g'(x)=(1,y'(x)) \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd}{\dd x}F(x,y(x))=\frac{\dd}{\dd x}F(g(x))=\nabla F(x,y)\cdot g'(x)=\nabla F(x,y)\cdot (1,y'(x))=\frac{\partial F}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial y}y'(x). \end{eqnarray*}$

Cordovan

31.12.2009, 16:58

giles

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Ok ok ihr habt Recht und ich hab die Schande geschockt