Flächenbestimmung bei einer Funktion

31.12.2009, 18:47

Feriennachholer

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Flächenbestimmung bei einer Funktion

Edit (mY+): Nicht das Thema bezeichnenden Titel modifiziert! Der Titel "Aufgabe die wir einfach nicht gelöst kriegen" ist gänzlich ungeeignet! Bitte eine zum Problem passende Überschrift wählen!

Die Aufgabe lautet wie folgt:
Die Funktion f ist auf dem Intervall [a;b] definiert und es ist f(a) $\begin{eqnarray*} \neq \end{eqnarray*}$ f(b). Wenn c $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit f(a)<c<f(b) oder f(b)<c<f(a) ist, begrenzen der Graph von f sowie die Geraden mit den Gleichungen x=a, x=b und y=c eine Fläche, die aus zwei Teilen besteht. Bestimmen Sie c so, dass die beiden Teilflächen denselben Inhalt haben.

Funktion: $\begin{eqnarray*} 4x-x^{2} und a=0 und b=2 \end{eqnarray*}$

So ich habe mir gedacht ich rechne erstmal die Fläche zwsichen den Grenzen aus und dividiere diese durch 2 um die Hälfte der Fläche zu wissen.

Hat auch noch geklappt, die Gesamtfläche beträgt meiner Rechnung nach also $\begin{eqnarray*} 5 1/3 \end{eqnarray*}$

Aber wie rechne ich nun aus an welcher Stelle c liegen muss ?

31.12.2009, 18:49

Feriennachholer

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Es sollte 5 und ein Drittel heißen, nicht 51 Drittel.

31.12.2009, 19:02

Eierkopf

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Wie wärs mit:
$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! (4\cdot x-x^2 )\, dx =\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

31.12.2009, 19:42

Feriennachholer

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Hmm.

c liegt doch auf der Y-Achse kann man das so machen Oo

31.12.2009, 20:06

Eierkopf

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Nein, kann man nicht, habe mich verlesen. Das Problem ist komplexer, obwohl a=0 und b=2 das schon sehr vereinfacht. Werde es allerdings erst morgen genauer anschauen können, da absolut keine Zeit mehr. Bis dann.

31.12.2009, 20:55

riwe

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$\begin{eqnarray*} \int_0^t \! (4x-x^2) \, dx +(2-t)\cdot f(t)=\frac{8}{3}\quad{}\wedge\quad{ }c=f(t)\to c\approx 1.480158 \end{eqnarray*}$

edit: dazu ein biderl

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01.01.2010, 08:46

Eierkopf

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Bin wieder da!
Vorschlag von riwe ist gut.
Mir wäre auch ein Weg über die entsprechende Umkehrfunktion sympatisch.
Wegen der Symmetrien des Graphen von f ist die gegebene Funktion über [2;4] verwendbar und umkehrbar:
$\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\sqrt{-x+4}+2 \end{eqnarray*}$
Die weitere Lösung könnte auch über eine Ersatzfunktion (nur rechnerisch vereinfacht), etwa
$\begin{eqnarray*} g^{-1}(x)=\sqrt{-x+4} \end{eqnarray*}$ , gefunden werden.
Nun noch
$\begin{eqnarray*} \int_0^c \! \sqrt{-x+4} \, dx ~=~\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ ergibt
$\begin{eqnarray*} c~=~4~-~\sqrt[3]{16}~\approx~1,480158 \end{eqnarray*}$

Gruß Ei

01.01.2010, 13:56

Iorek

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@riwe, hättest du mit dem Posten der Lösung nicht noch etwas warten können bis ich wieder nüchtern und in der lage war, meine Lösung die ich mir in geselliger Sylvesterrunde überlegt aufzuschreiben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hatte quasi den gleichen Ansatz wie du, aber irgendwann ist das ganze an keinem Papier und keinem TR gescheitert, irgendwann konnte ich mir die ganzen Terme nicht mehr im Kopf behalten Big Laugh

Big Laugh

Frohes Neues euch allen! smile

smile

Edit: Der Vollständigkeithalber mein Ansatz. $\begin{eqnarray*} \int_{2-\sqrt{4-c}}^2 \ (f(x)-c), dx =\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$ . Das ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse im Intervall des Schnittpunkts der Geraden bis 2 minus die Fläche unterhalb der Geraden im selben Intervall. Den Schnittpunkt habe ich allgemein mit $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ bestimmt und als Lösung 2+Wurzelterm und 2-Wurzelterm erhalten, da 2 die obere Grenze sein soll, muss 2-Wurzelterm die untere Grenze sein. Ob das ganze formal so richtig ist wage ich fast zu bezweifeln, da ein paar Bier bei der Entwicklung des Ansatzes dabei waren, aber es kommt das richtige Ergebnis raus Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.01.2010, 14:01

riwe

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Zitat:

Original von Iorek
@riwe, hättest du mit dem Posten der Lösung nicht noch etwas warten können bis ich wieder nüchtern und in der lage war, meine Lösung die ich mir in geselliger Sylvesterrunde überlegt aufzuschreiben? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hatte quasi den gleichen Ansatz wie du, aber irgendwann ist das ganze an keinem Papier und keinem TR gescheitert, irgendwann konnte ich mir die ganzen Terme nicht mehr im Kopf behalten Big Laugh

Big Laugh

Frohes Neues euch allen! smile

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wenn ich und andere immer warten würden, bis du (wieder) nüchtern bist smile

smile

wer trinkt, ist selber schuld, prost Prost

Prost

02.01.2010, 12:03

Feriennachholer

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wie kommste denn auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{4-c} \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ich f(x) = c stelle komme ich auf $\begin{eqnarray*} x = 4-c \end{eqnarray*}$

mfg
Feriennachholer

02.01.2010, 12:15

Iorek

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$\begin{eqnarray*} f(x)=-x^2+4x \end{eqnarray*}$ , jetzt das ganze gleich c setzen und auflösen.

02.01.2010, 12:30

Feriennachholer

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Wieso muss ich diese Funktion eigentlich umschreiben um auf das eEgebnis zu kommen und kann nicht die Funktion so nehmen, wie sie vorgegeben ist und ohne dass man die Reihenfolge vertauscht?

Da steig ich nicht so ganz durch.

02.01.2010, 12:34

Iorek

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Das Umschreiben hat keinen Einfluss darauf, da die Addition kommutativ ist; $\begin{eqnarray*} a+b=b+a,\ a-b=a+(-b)=(-b)+a=-b+a \end{eqnarray*}$ , normalerweise sortiert man die Summanden aber so, dass die größte Potenz (in dem Fall das x²) vorne steht. Du kannst aber auch mit $\begin{eqnarray*} f(x)=4x-x^2 \end{eqnarray*}$ arbeiten.

02.01.2010, 12:35

Feriennachholer

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Ist es bei jeder Formel Pflicht, da der höhere Exponent (in diesem Fall $\begin{eqnarray*} x^{2} \end{eqnarray*}$ ) vorne stehen muss, damit man auf das richtige Ergebnis kommt ?

02.01.2010, 12:37

Iorek

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Es ist vollkommen egal, ob der höhere Exponent vorne, in der Mitte oder an 3ter Stelle von hinten steht, wenn man sich das ganze aber absteigend von vorne sortiert, also mit dem größten anfängt, kann man einige Sachen besser sehen/berechnen. Was erhälst du denn als Ergebnis wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} f(x)=c \end{eqnarray*}$ setzt?

02.01.2010, 12:42

Feriennachholer

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Wenn ich $\begin{eqnarray*} f(x) = c \end{eqnarray*}$ setzte komme ich auf $\begin{eqnarray*} 4-c=x \end{eqnarray*}$

Rechnung:
$\begin{eqnarray*} -x^{2}+4x=c |+x^{2}<br /> 4x=c+x^{2} |:x<br /> 4=c+x |-c<br /> 4-c=x<br /> \end{eqnarray*}$

02.01.2010, 12:44

Iorek

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$\begin{eqnarray*} 4x=c+x^{2} |:x<br /> 4=c+x \end{eqnarray*}$

Hier liegt der Fehler. Wenn du beide Seiten durch x dividierst, musst du auch das c durch x dividieren, also bekommst du an dieser Stelle $\begin{eqnarray*} 4=\frac{c}{x}+x \end{eqnarray*}$ .

Kennst du vllt. irgendwelche Werkzeuge um eine quadratische Gleichung zu lösen?

02.01.2010, 12:46

Feriennachholer

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Was meinst du mit Werkzeuge ?

02.01.2010, 12:48

Iorek

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Formeln, Vorgehensweise...irgendetwas das es dir ermöglicht, eine quadratische Gleichung zu lösen. Da gibt es mehrere Sachen die man anwenden kann, von daher müsste ich wissen, welche ihr gelernt und bisher benutzt habt smile

smile

02.01.2010, 12:48

Feriennachholer

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Wenn du sowas wie eine Taschenrechner meinst, der mir diese direkt auflöst leider nein.

02.01.2010, 12:56

Iorek

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Taschenrechner ist zwar auch was schönes, allerdings kann der auch nur soviel, wie einem mal ein Mathematiker beigebracht hat. Also muss man sowas auch ohne TR lösen können. Sagt dir die pq-Formel oder die Mitternachtsformel etwas?

02.01.2010, 12:57

Feriennachholer

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Ich hab da immer so Probleme mit den Namen der Regeln usw. ^^

Also ist es schwer für mich zusammenzufassen was wir anwenden und was nicht.

02.01.2010, 13:00

Iorek

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Das sollte aber gegeben sein, wenn man sich bei anderen Hilfe sucht. Wir kennen nicht euren Unterricht, die Vorgehensweise eures Lehrers etc.

Wie würdest du denn z.B. diese Gleichung lösen? $\begin{eqnarray*} x^2-4x-5=0 \end{eqnarray*}$

02.01.2010, 13:07

Feriennachholer

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1 und 3

02.01.2010, 13:11

Iorek

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Ok, also ist die pq-Formel schonmal bekannt. Was müssten wir machen, um die pq-Formel auf $\begin{eqnarray*} -x^4+4x=c \end{eqnarray*}$ anzuwenden?

02.01.2010, 13:12

Feriennachholer

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c auf die linke seite bringen

$\begin{eqnarray*} -x^{4} + 4x - c = 0 \end{eqnarray*}$

02.01.2010, 13:59

Iorek

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c auf die linke Seite bringen ist schonmal ein guter Schritt, allerdings fehlt noch etwas. Die pq-Formel kann man nur anwenden, wenn die Gleichung folgende Form hat: $\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ , d.h. vor dem x² darf kein Vorfaktor mehr stehen.

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