Dimension Bild/Kern einer Matrix

01.01.2010, 14:38

RsSaengerin

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Dimension Bild/Kern einer Matrix

Hallo,

ich nhab dieses und einige andere Foren schon durchforstet, leider versteh ich keine der Antworten so richitg :-(

Ich habe folgende Matrix gegeben:

2 2 5
M(B,B)(f) = 0 1 1
-2 2 -1

Davon soll ich nun dim (ker f) und dim (im f) berechnen und dann noch je eine basis für ker(f) und im(f) angeben.

Bei den Dimensionen weiß icih, dass dim ker f + dim im f = n ergeben
und die dimension vom kern gleich der anzahl lin. unabh. vektoren im kern ist., analog dazu das gleiche beim bild.

wenn ich die matrix jetzt umforme, komm ich nicht so richtig auf ne zeilenstudenform, sondern stocke bei

2 2 5 | 0
0 4 4 | 0
0 1 1 | 0

Daraus kann ich doch dann im Grunde folgern, dass der kern null ist und somit die dimension vom kern auch null ist, oder?

Und wie berechne ich nnun das bild?

Wenn der Kern null ist, müsste die basis dann ja der Nullvektor sein (geht das?) ?

Danke schonmal,
MfG

01.01.2010, 14:42

tigerbine

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RE: Dimension Bild/Kern einer Matrix
Willkommen

Willkommen

Bitte verwende latex. Danke

[Artikel] Basis, Bild und Kern

Ferner mache Gauss zu Ende. Der Nullvektor ist immer im Kern. Sonst wäre die Abbildung ja nicht linear. Was bedeutet nun aber eine Nulzeile bei Gauss?

01.01.2010, 15:02

RsSaengerin

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RE: Dimension Bild/Kern einer Matrix
den artikel hab ich schon gelesen...aber wie gesagt, nicht verstanden.
und latex würd ich ja verwenden, aber mangels erklärungen können... naja ^^

wie soll ich denn gauß noch weitermachen?
ich komme doch auf y = -z

sorry ich steh wohl total aufm schlauch ... Hammer

Hammer

01.01.2010, 15:12

tigerbine

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RE: Dimension Bild/Kern einer Matrix
1. Du möchtest, dass man sich Zeit für Dich nimmt. Da ist es nicht zu viel verlangt, dass du dir Zeit für latex nimmst. Wir haben einen Formelditor, UserTutorials, aber um Eigeninitiative wird man nicht herum kommen Augenzwinkern

Augenzwinkern

2. "Versteh ich nicht" bringt einen keinen mm weiter. Du musst sagen, was du nicht verstehst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} M=\begin{pmatrix}2&2&5 \\ 0&1&1 \\ -2&2&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

(a) Kern. Löse Mx=0. Verwende Gauss.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&2&5 \\ 0&1&1 \\ -2&2&-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&2&5 \\ 0&1&1 \\ 0&4&4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&2&5 \\ 0&1&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In Beispiel 1 habe ich dann sogar schon so einen Fall behandelt. Generell solltest du aber unterbestimmte GS lösen können. Man wählt eben einen Parameter.Z.B. $\begin{eqnarray*} x_3=t \end{eqnarray*}$ Was ergibt sich dann für die anderen Komponenten von x in Abhängigkeit von t? Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.01.2010, 15:46

RsSaengerin

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Wenn ich die zweite Zeile herausnehme und zusammenfasse komme ich ja auf
$\begin{eqnarray*} x_2*(y+z)=0 \end{eqnarray*}$ . Das wird doch wahr, wenn y = -z oder $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ =0 ist, ... oder muss ich da anders rangehen, weil hier ja jetzt keine Abhängigkeit von t vorkommt?

Ähnlich würde ich bei der ersten Zeile verfahren... aber da komme ich dann auch nicht weiter, weil ich ja zB nicht einfach t für z einsetzen kann...(?)

01.01.2010, 15:57

tigerbine

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Du sollst da nichts zusammenfassen sondern einfach nur den Algorithmus anwenden.

Treppenstufenform
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2&2&5 \\ 0&1&1 \\ 0&0&0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\x_3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rückwärtssubstitution mit freien Parametern.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_3:=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_2=-x_3=-t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_1=-x_2-2.5x_3=t-2.5t = -1.5t \end{eqnarray*}$

Damit lautet der Lösungsvektor in Parameterform

$\begin{eqnarray*} x= \begin{pmatrix} -1.5t\\-t \\t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder eben

$\begin{eqnarray*} x= t\begin{pmatrix} -1.5\\-1 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und damit ist Kern(M) = span{(-1.5,-1,1)^T}

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01.01.2010, 16:19

RsSaengerin

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danke...und entschuldigung für meine unwissenheit :-(

also kann ich daraus folgern, dass die dimension des kerns = 1 ist.

theoretisch könnte ich dann aus n = 3 schlussfolgern, dass dim (im f) = 2 ist,... aber das muss ich bestimmt noch nachrechnen.

zB indem ich elementare spaltenumformungen durchführe, um um die lin. unabh. spalten zu bestimmen. es sind doch aber alle spalten linear unabhängig, wenn ich das richitg sehe..., sodass dim (im f) = 3. (?)

ich hab grad noch gelesen, dass man das auch durch transponieren der matrix bestimmen kann, aber das dürfen wir nicht benutzen...

01.01.2010, 16:29

tigerbine

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Es geht mir nicht darum, dir zu sagen "bäh, kannste das nicht." Aber ich gehe davon aus, dass ihr LGS lösen schon hattet. Nun ist Kernbestimmung nichts anderes, als dies zu tun. Und wenn du da Probleme hast, musst du eben in dem Kapitel LGS nachschlagen. Das ist alles. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Kern, ja, hat Dimension 1.

Bild, entweder mit dem Rang der Matrix oder der Dimensionsformel.

Durch Transponieren kann man eine Basis des Bildes bestimmen. Warum dürft ihr nciht Transponieren? Ansonsten sieht man dieser Matrix ja schön 2 l.u. Vektoren an.

01.01.2010, 16:51

RsSaengerin

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naja uns wird immer eingetrichtert, dass wir nur sachen verwenden dürfen, die wir auch schon in der vorlesung hatten... und da es bei mir momentan sowieso etwas düster aussieht, geh ich da mal lieber kein risiko ein ^_^

$\begin{eqnarray*} dim U_1 + dim U_2 = dim (U_1 + U_2) + dim (U_1 \cap U_2) \end{eqnarray*}$

da könnte ich ja zB statts $\begin{eqnarray*} U_1 ker f \end{eqnarray*}$ und statt $\begin{eqnarray*} U_2 im f \end{eqnarray*}$ einsetzen (?) und komme dann auf

$\begin{eqnarray*} dim (ker f )+ dim (im f) = dim (ker f + im f) + dim (ker f \cap im f) \end{eqnarray*}$

der schnitt müsste null sein, bleibt also

$\begin{eqnarray*} dim(ker f) + dim (im f) = dim (ker f + im f) + dim (0) \end{eqnarray*}$

wie könnte ich da jetzt weiterverfahren?

...und übrigens vielen Dank für deine Geduld :-)

01.01.2010, 17:36

tigerbine

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Das Transponieren ist kein Geheimwissen sondern nur anwenden von Vektorrechnungen.

Warum nimmst du nun diese Formel? Du hast doch zitiert

Zitat:

Bei den Dimensionen weiß icih, dass dim ker f + dim im f = n ergeben

http://www.grundstudium.info/linearealge...lagennode55.php

Warum benutzt du den dann nicht? verwirrt

verwirrt

Ferner sollten doch auch die U bei deinem Satz UVR desselben VR sein. Wo liegt denn der Kern und wo das Bild? i.A. sind das verschiedene VR. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.01.2010, 15:09

RsSaengerin

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okay danke, soweit bin ich jetzt durchgestiegen.

jetzt hätt ich nur noch die frage, wie ich basen zu kern und bild berechne?

kann ich da für den kern einfach den oben genannten spann nehmen und für t zB 1 einsetzen?

und wie gehe ich dann beim bild vor?

06.01.2010, 22:32

Reksilat

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tigerbine macht gerade die Pisten unsicher. Big Laugh

Big Laugh

Zum Kern: Ja, Der Vektor $\begin{eqnarray*} v:=\begin{pmatrix}-1.5\\-1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ spannt den Kern auf und somit ist $\begin{eqnarray*} \{v\} \end{eqnarray*}$ eine Basis.
(Schöner ist es aber, wenn man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3\\2\\-2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nimmt. - kommt aufs gleiche raus, sieht aber schöner aus Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

Zum Bild:
Wie im verlinkten Artikel von tigerbine schon steht, spannen die Spalten der Matrix das Bild auf. Das sind jetzt drei Vektoren. Da Du die Dimension des Bildes bereits kennst (nämlich 2), weißt Du, dass davon einer überflüssig ist.
Such Dir also einen geeigenten Vektor, den Du streichen kannst, ohne das Erzeugnis (den Spann) zu verändern.

Gruß,
Reksilat.

btw.:

Zitat:

2 2 5
M(B,B)(f) = 0 1 1
-2 2 -1

Diese Darstellung ist einfach nur doof. Selbst ohne Formeleditor geht das besser:
M(B,B)(f) =
2 2 5
0 1 1
-2 2 -1

Ansonsten ist korrekte Darstellung aber auch nicht schwer:
- oben am rechten Rand unter "Werkzeuge" auf "Formeleditor" klicken
- im neuen Fenster auf die Matrix klicken
- die Werte a_1, a_2, ..., c_3 durch Deine Zahlenwerte ersetzen (Die Zeichen '&' und '\\' dabei stehenlassen!)
- den Code kopieren und im Antwortfenster erst oben auf den Knopf mit 'f(x)' klicken und dann den Code zwischen [Iatex] und [/Iatex] einfügen.

Sieht dann so aus:

code:
1:	[latex]\begin{pmatrix} 2&2&5 \\ 0&1&1 \\ -2&2&-1 \end{pmatrix} [/latex]

und erzeugt:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2&2&5 \\ 0&1&1 \\ -2&2&-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

07.01.2010, 00:31

RsSaengerin

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cool, dass das endlich mal jmd verständlich erklärt hat ^^
vielen dank ihr lieben :-)

(5, 1, -1) ist ein linearkombi aus den ersten beiden spaltenvektoren und somit wäre die basis von im(A)={(2,0,-2),(2,1,2)}
?
:-)

07.01.2010, 14:07

Reksilat

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Korrekt.

Freude

07.01.2010, 17:21

DOZ ZOLE

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@tigerbine

wie kann man das bild über den rang der matrix ermitteln?

07.01.2010, 17:36

Reksilat

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Lass dem fleißigen Binchen doch mal ein wenig Urlaub. Außerdem glaube ich nicht, dass ihre Antwort anders ausfallen würde als meine:

Rang = Dimension des Bildes

Das Bild selbst kann man damit nicht ausrechnen. Schließlich ist der Rang nur eine Zahl, das Bild hingegen eine Menge von Vektoren.

Gruß,
Reksilat.

07.01.2010, 18:48

DOZ ZOLE

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ok das hilft mir nicht weiter. wie kann man denn das bild selbst berrechnen?

07.01.2010, 18:52

Reksilat

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Auf die Idee, in diesem Thread auch mal was zu lesen, bist Du aber nicht gekommen, oder? unglücklich

unglücklich

Zitat:

Wie im verlinkten Artikel von tigerbine schon steht, spannen die Spalten der Matrix das Bild auf.

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