Grenzen eines Flächenintergrals

01.01.2010, 18:34

Tamy

Grenzen eines Flächenintergrals

Hallo

ich sitze grad an folgender Aufgabe:

Berechnen Sie das Flächenintegral
$\begin{eqnarray*} \iint_D xy{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \end{eqnarray*}$
über das Dreieck (0;0), (1;0), (0,1)

Ich komme nicht drauf wie man die Grenzen bestimmt und bitte dabei um Hilfe.

01.01.2010, 19:31

saz

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Überleg dir einfach erstmal, von wo bis wo dein y für ein festes x läuft. (Also wenn du es dir graphisch darstellen willst: Zeichne in deine Skizze innerhalb des Dreiecks einen senkrechten Strich und überleg dir, wo der Strich das Dreieck schneidet. Das sind dann die entsprechenden Integrationsgrenten für die y-Integration.) Und dann integrierst du einfach noch über x von 0 bis 1.

Also mal vllt. noch ein Beispiel: Angenommen du würdest über die Fläche einer Parabel integrieren wollen, von x=0 bis x=1. Dann siehst du, dass dein y für jedes feste x gerade von 0 bis x² läuft. Also rechnest du:

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{x^2} x \cdot y \, dy \, dx \end{eqnarray*}$

01.01.2010, 20:08

Tamy

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Vielen Dank für deine schnelle Antwort und das sehr hilfreiche Beispiel.

Dann müsste

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{x-1}xy dydx \end{eqnarray*}$

richtig sein, oder?

01.01.2010, 20:41

Mystic

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Ich fürchte, du bist gerade am Aufstellen einer einfachen Geradengleichung schmählich gescheitert... unglücklich

01.01.2010, 20:45

saz

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Zitat:

Original von Tamy
Dann müsste

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{x-1}xy dydx \end{eqnarray*}$

richtig sein, oder?

Mh nein, wie Mystic schon festgestellt hat, hast du im "inneren" Integral noch einen Fehler bei der oberen Integrationsgrenze. Guck nochmal, was du da oben für eine Funktion geplottet hast - da steht es ja schon richtig.

01.01.2010, 20:53

Tamy

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Irgendwie stehe ich voll auf dem Schlauch, habe nämlich die Lösung zu der Aufgabe gefunden. Und da heißt es:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-y}xydxdy \end{eqnarray*}$

Ist das denn richtig?

01.01.2010, 20:56

saz

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So geht's auch, aber mach' es doch mit dem Ansatz von oben weiter, das funktioniert genauso gut (und es kommt natürlich das gleiche Ergebnis raus). Du musst wie gesagt nur die eine obere Integrationsgrenze korrigieren (und das sollte kein Problem sein, wenn du es verstanden hast).

Der Ansatz der in der Lösung gewählt wurde, ist sozusagen einen waagerechten Strich reinzuzeichnen und dann zu schauen, wie die Integrationsgrenzen für x bei einem festen y sind.
Eigentlich ist es nur mit dem oben anschaulicher (finde ich zumindest), weil man da im Grunde gleich alles gegeben hat.

01.01.2010, 21:08

Tamy

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O man, ich habe die ganze Zeit überlegt, was ich falsch gemacht habe und dabei in meinen Unterlagen nach dem Fehler gesucht da habe ich aber auch

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}xydydx \end{eqnarray*}$

stehen. Deswegen habe ich auch keinen Fehler in der Geradengleichung finden Hammer

Jetzt dürfte das aber richtig sein, oder?

01.01.2010, 22:14

saz

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Jipp, das stimmt.

01.01.2010, 22:27

Tamy

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe!

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