Häufungspunkt einer Teilüberdeckung

01.01.2010, 19:33

grübelnde

Häufungspunkt einer Teilüberdeckung

Hallo,
bin gerade an folgender Aufgabe:

x ist Häufungspunkt einer Menge M.
$\begin{eqnarray*} \left\{ A_{k}\right\}_{k=1,...,n} \end{eqnarray*}$ ist endliche Überdeckung $\begin{eqnarray*} M\subseteq \bigcup ^{n} _{k=1} A_{k} \end{eqnarray*}$ .
Gezeigt werden soll nun, dass es dann ein $\begin{eqnarray*} k* \in \left\{ 1,...,n\right\} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass x Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} A_{k*} \end{eqnarray*}$ ist.

Mein Problem hierbei ist gerade noch, eine Vorstellung von einer solchen Menge $\begin{eqnarray*} A_{k*} \end{eqnarray*}$ zu entwickeln.
Irgendwie müsste es dazu ein $\begin{eqnarray*} A_{k*} \end{eqnarray*}$ geben, indem eine beliebig kleine Umgebung von x enthalten ist (ob mit oder ohne x ist dabei ja egal...). Und die muss ja existieren, weil in jeder Umgebung von x unendlich viele m aus M enthalten sind, die Indice k jedoch endlich sind. Also gibt es mindestens eine unendliche Menge $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ und falls alle anderen endlich sind, dann ist eine Umgebung von x vollständig in jener Menge enthalten.

Aber, wie man vielleicht merkt, ist das alles noch ein wenig diffus... Hat jemand eine Idee, wo man "suchen" kann?

Freu mich über jeden Gedankenanstupser...
Vorher jedoch: Ein schönes neues Jahr euch allen mit vielen kleinen Erkenntnissen. smile

01.01.2010, 19:51

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Häufungspunkt einer Teilüberdeckung
Ich kenne den * (Stern) nicht; was bedeutet er?
In welchem topologischen Raum spielt das?
Sind die Ak offene Mengen?

01.01.2010, 20:07

sven_

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

$\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ ist Häufungspunkt bedeutet, dass für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Elemente $\begin{eqnarray*} m \in M \end{eqnarray*}$ im Ball $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon}(x) \end{eqnarray*}$ mit Radius $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ um den Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ liegen.

Da $\begin{eqnarray*} M\subseteq \bigcup ^{n} _{k=1} A_{k} \end{eqnarray*}$ , bedeutet dies: $\begin{eqnarray*} x \in A_1 \text{ oder } x \in A_2 ,... \text{ oder } x \in A_n \end{eqnarray*}$

[ "oder" bedeutet hier nicht "entweder-oder" - da die $\begin{eqnarray*} A_1, ..., A_n \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung nicht disjunkt sein müssen]

Um zu zeigen, dass es dieses $\begin{eqnarray*} k^* \end{eqnarray*}$ gibt, musst du nur zeigen, dass folgendes Verfahren irgendwann abbricht:
Sei $\begin{eqnarray*} x \notin A_1 \end{eqnarray*}$ (sonst wäre der Fall trivial). Dann gilt $\begin{eqnarray*} x \in M\setminus A_1 \end{eqnarray*}$ . Gilt auch $\begin{eqnarray*} x \notin A_2 \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus (A_1 \cup A_2) \end{eqnarray*}$ . Da aber $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ nach Vorraussetzung und $\begin{eqnarray*} M\subseteq \bigcup ^{n} _{k=1} A_{k} \end{eqnarray*}$ , bricht dieses Verfahren ab, d.h. man erhält $\begin{eqnarray*} x \in M \setminus (A_1 \cup ... \cup A_j), j<n \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt aber: $\begin{eqnarray*} x \in A_{j+1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j+1 \in \{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ . Es gilt dann: $\begin{eqnarray*} j+1=k^* \end{eqnarray*}$ .

Evtl. kann man es noch besser und schönerK aufschreiben. Ich hoffe, du hast die grundlegende Idee verstanden.

01.01.2010, 20:20

sven_

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Beweis ist natürlich noch nicht fertig. Jetzt musst du dir noch überlegen, wieso für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Punkte in $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon} (x) \end{eqnarray*}$ liegen und alle diese Punkte Elemente von $\begin{eqnarray*} A_{j+1}=A_{k^*} \end{eqnarray*}$ sind.

01.01.2010, 20:22

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

@Sven_
Frage 1: Ich sehe jetzt, dass du den Stern zu tief gesetzt hattest; er bedeutet gar nichts.
Frage 2: Weil du vom Radius redest, kann ich annehmen, dass es ein metrischer Raum ist?
Frage 3: Bleibt unbeantwortet.

01.01.2010, 20:50

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sven_
Der Beweis ist natürlich noch nicht fertig. Jetzt musst du dir noch überlegen, wieso für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ unendlich viele Punkte in $\begin{eqnarray*} B_{\epsilon} (x) \end{eqnarray*}$ liegen und alle diese Punkte Elemente von $\begin{eqnarray*} A_{j+1}=A_{k^*} \end{eqnarray*}$ sind.

Ich fürchte, das wird mit deinem Algorithmus nicht möglich sein... Das $\begin{eqnarray*} k^* \end{eqnarray*}$ , welches du auswählst, hängt nämlich fatalerweise vom gewählten $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ab, es sollte aber für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gleich sein...

01.01.2010, 21:14

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Häufungspunkt einer Teilüberdeckung
k* muss ja nicht effektiv konstruiert werden; nur die Existenz ist zu zeigen.
In solchen Fällen kann ein indirekter Beweis geführt werden.

01.01.2010, 22:33

noch immer grübelnd

Auf diesen Beitrag antworten »

Noch mal zurück zum Anfang:

Wenn x tatsächlich in M enthalten wäre, dann ist die Aufgabe beinahe trivial, oder? Ich nehme ein $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ in dem x liegt, denn mindestens eins muss es geben, und da $\begin{eqnarray*} A_{k} \subseteq M \end{eqnarray*}$ , ist x doch per Aufgabenstellung Häufungspunkt, es sei denn, $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ besteht nur aus diesem x. Kann man sowas ausschließen??
Nur weil ein Punkt Häufungspunkt VON einer Menge ist, muss er noch nicht IN der Menge enthalten sein. (Paradebeispiel: Intervall (0,1] in den reellen Zahlen. 0 ist Häufungspunkt, aber nicht im Intervall enthalten...)

@wisili: Ich weiß leider auch nicht, ob die $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ offen sind - das gibt die Aufgabe nicht an. Allerdings kling "endliche Überdeckung" ja ganz stark nach Kompaktheit, nicht? Nur ist nicht gegeben, ob für alle Familien {Ak} eine endliche Überdeckung existiert.

Hatte aber auch schon über einen indireketen Beweis nachgedacht.
Wenn es keine solches k* gibt, dann hieße das, dass es keine Teilmenge $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ von M gibt, die eine Umgebung von x (unendlich viele Elemente) enthält. Damit wären alle $\begin{eqnarray*} A_{k} \end{eqnarray*}$ endlich und M nicht mehr in der Vereinigung enthalten, wie vorgegeben. Reicht das als Widerspruch?

02.01.2010, 09:25

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

(Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. Aber: )

Für jedes Ak gibt es dann mindestens eine Umgebung Uk von x (ob x in M liegt, ist egal), sodass im Durchschnitt nur endlich viele M-Elemente liegen. Da es nur endlich viele Ak sind, kann man nun den Durchschnitt der eben genannten Umgebungen Uk bilden (gemäss Topologie-Axiomen ist er nicht leer). Er hat mit jedem Ak und somit auch mit der ganzen Ueberdeckung und somit auch mit M nur endlich viele Elemente gemeinsam. Das ist der Widerspruch (x soll ja Häufungspunkt von M sein).

02.01.2010, 09:34

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen ersten Satz verstehe ich nicht, aber smile

Zitat:

Original von wisili
(Deinen letzten Satz verstehe ich nicht. Aber smile

Für jedes Ak gibt es dann mindestens eine Umgebung Uk von x (ob x in M liegt, ist egal), sodass im Durchschnitt mit Ak nur endlich viele Elemente liegen.

(Ausbesserung in Fettschrift) würde ich verstehen...

02.01.2010, 11:50

wisili

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar. Welchen anderen Durchschnitt könnte man denn meinen?

02.01.2010, 13:06

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist jetzt mehr ein linguistisches Problem, ob das aus deiner Formulierung klar hervorgeht, dass es sich gerade um diesen Durchschnitt handelt, aus "didaktischen Gründen" würde ich jedenfalls meine Präzisierung vorziehen... Augenzwinkern

02.01.2010, 13:33

nicht mehr grübelnd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, das klingt - mit allen Präzisierungen smile

- logisch.
Vielen Dank für die Anregungen!!

Neue Frage »

Antworten »

Häufungspunkt einer Teilüberdeckung

Verwandte Themen