Differenzialrechnung

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Hirni Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzialrechnung
Ich habe folgende Aufgabe:"Gegeben ist die quadratische Funktion mit f(x)=x² und die kubische Funktion mit g(x)=x³. In welchen Punkten haben die Graphen der Funktionen parallele Tangenten?

Soweit so gut. Vom Prinzip her kein Problem. Man bilde einfach die Ableitung, setzt diese gleich, und so hat man die Stellen an denen die jeweiligen Tangenten parallel sind. Ich habe dabei 2 Lösungen, nämlich x1=0 und x2=2/3. Nun ist aber nach den Punkten gefragt. Ich dachte mir einfach, die Stellen in die ursprünglichen Funktionen einzusetzen. also gilt sowohl bei f(0) und g(0) = 0. Das wäre P1(0/0). Jetzt kommt ich aber ins Straucheln: In der Lösung steht P1(0/0) und P2( [2/3] / [4/9] ). P2 ist aber nur der Punkt für die Funktion f(x). Warum wurde nicht der Punkt für g(x) angegeben? Denn g(2/3) ist ja 8/27, und nicht 4/9, aber an diesem Punkt ist eben f´(x) = g ´(x) ???!!! Habe ich ein Verständnisproblem oder ist das schlichtweg ein Fehler in der Lösung?

Danke im Vorraus!
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ein Verständnisproblem von dir, Hirni.

Es ist nämlich nur gefragt, wo es parallele Tangenten gibt und nicht, ob diese auch übereinander liegen (also in demselben Punkt). Dies ist natürlich im Punkt (0|0) zusätzlich gegeben... damit ist die Lösung aber auch nur Halbkorrekt, denn eignetlich sollte nur ein X-Wert angegeben werden und kein Y-Wert.
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nur einen klitzekleinen Gedankenfehler.
Es war alles richtig, bis auf das, dass du nicht bedacht hast, dass es Parallelen sind.
In (0|0) fallen sie zusammen, und an der Stelle x=2/3 haben beide Funktionen die Steigung 1 1/3.
Dass sie natürlich andere Funktionswerte haben, ist nur logisch.

LGR
Hirni Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, danke euch beiden!! jetzt hab ichs, dankeschön
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,
hab noch nicht ganz verstanden wie man jetzt auf die beiden Ergebnisse kommt.

Müsste ja so aussehen:
Ableitungen:



Gleichstellen:


Wie kommt man jetzt auf die beiden Ergebnisse?

mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Als erstes könntest du die Gleichung umformen zu 3x²-2x=0, kommst du jetzt weiter?
 
 
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du willst Lösungen der Gleichung, also bestimme sie. Bringe alles auf eine Seite und klammere x aus.

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich sie so wie gesagt umgeformat habe, habe ich ja die Allgemeine Form?!
3x²-2x=0
Dann könnte ich das mit der "Mitternachtsformel" beide Lösungen bestimmen?

@Airblader
Kannst du das mal genauer erklären?

danke
mfg
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Mitternachtsformel ist immer schön, hier aber etwas zuviel, du brauchst sie nichtmal. Klammer bei dir mal ein x aus, was erhälst du dann?
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

x*(3x-2)=0

?!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau, jetzt hast du da ein Produkt stehen. Wann wird denn ein Produkt gleich 0?
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich da für x=0 einsetzte würde 0 rauskommen, oder?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt, ist aber nicht alles. Wann wird denn ganz allgemein ein Produkt a * b = 0 ?

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn einer der beiden 0 ist ?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig Freude

Wende das jetzt auf deine Gleichung an. Den einen Faktor hast du bereits Null gesetzt, fehlt noch der Zweite.

air
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Auch, es geht aber noch weiter.

Ein Produkt ist genau dann gleich 0, wenn min. einer der Faktoren gleich 0 ist.
Deine Faktoren sind zum einen x und zum anderen 3x-2. Du hast schon richtig gesagt, dass x genau dann gleich 0 ist, wenn x=0 ist. Wann ist denn dein anderer Faktor gleich 0?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Hui, da warst du nun aber sehr spät dran Big Laugh

air
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

3 Minuten nach dir...mir kam mein 24h disconnect vom Router dazwischen traurig
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, sogar ganze 6 Minuten - jedenfalls ist das der Stand dessen, was dein Posting enthielt. Augenzwinkern

air
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei mir liegen zwischen deinem und meinem Posting 3 Minuten...aber wir schweifen ab, kommen wir mal wieder zur Gleichung zurück Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, zwischen deinem und meinem letzten. Aber dein Posting ist inhaltlich meinem vorletzten, und das lag 6 Minuten zurück.
Aber stimmt schon, nun wirds echt unwichtig. Aber die Aufgabe ist nun ja so gut wie gelöst. Augenzwinkern

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

also mein faktor 3x-2 muss 0 sein wenn x nicht null ist?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

"Jein".

Ein Produkt wird Null, wenn mindestens(!) ein Faktor Null wird. Es dürfen auch beide gleichzeitig Null werden!

Du hast x * (3x-2) = 0. Also betrachte

(1) x = 0
(2) 3x-2 = 0

Alle Lösungen davon lösen die Ausgangsgleichung.

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

mh ja das heißt ja das meine Lösung 0 und 0 ist?!
Aber im Anfangsthema ist ja noch die rede von 2 anderen Tangenten an denen die Steigung 1 1/3 beträgt?

danke
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du bei 3x-2=0 auf x=0 verwirrt

air
zenjox Auf diesen Beitrag antworten »

3*0 = 0-2 = -2
okay xD
hä? ich kapier garnichts mehr Big Laugh
kann mir jetzt einer eben aufschreiben wie man jetzt darauf kommt?oO

danke
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal:

Du hast x * (3x-2) = 0.
Ein Produkt wird Null, wenn mindestens ein Faktor Null wird. Es genügt also, wenn du nun beide Faktoren für sich gleich Null setzst.

Also:

(1) x = 0
Dies ist sehr einfach zu lösen, denn x=0 ist genau dann, wenn x=0. Augenzwinkern

(2) 3x-2=0
Dies lösen wir mit simplem Umstellen zu x = 2/3

Also haben wir als Lösungen für unsere Ausgangsgleichungen ganz oben die beiden Lösungen x=0 oder x=2/3.

air
Hirni Auf diesen Beitrag antworten »
...
Ich hab nochmal eine Frage...

Hat auch was mit Differenzialrechnung zu tun, der Ansatz ist auch hier kein Problem, mir fehlt einfach das Handwerk, eine Gleichung zu lösen... naja, das heißt, lösen kann ichs, aber nur mit einer Zahl mit x-Komma-Stellen, ich wills aber genau haben (also wie z.b e^2 und NICHT 7,289056099...)

Folgendes: Vom Prinzip her: Ich hab eine ln-Funktion. Ich will ihre Hoch- und Tiefpunkte berechnen. Also leite man sie ab. Gemacht. Das gleich 0 gesetzt....
Ein wenig umgeformt, dann komm ich auf folgendes: 0=1-ln(2)-ln(x)

Wie kann ich das x vom ln befreien? Mein Ansatz: ich bring den Spaß zunächst auf eine Seite, also 1 - ln(2) = ln(x). Mein erster Gedanke war, die Basis zu ändern - also alles auf "e" bringen denn potenzieren und logarithmieren heben sich ja auf, oder? also folgendes: e^1 - e^(ln(2)) = e^(ln(x)) ... dann hätte ich ja im e - 2 =x, was aber falsch ist (richtige Lösung: 0,5e) (-.-). Kann mir da jemand bitte ein Tipp geben?

Edit:

Ich wüsste sogar, welcher Schritt meine Lösungsmenge verändert, nämlich das mit der Basisumwandlung, d.h0=1-ln(2)-ln(x) scheint noch richtig zu sein
.. aber ich wüsste keinen alternativen Schritt und meinen Recherchen zufolge darf man sowas?? oder habe ich etwas übersehen??
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst schon die ganze Seite in den Exponenten nehmen.

Wenn du also 1-ln(2)=ln(x) hast, dann wird mit Potenzieren daraus e^(1-ln(2)) = e^(ln(x)) = x.

Also x = e^(1-ln(2)) = e / e^(ln(2)) = 1/2 * e

air
Hirni Auf diesen Beitrag antworten »

.... ich hab das einzeln in den exponenten genommen... wieder was dazugelernt^^ dankeschön!
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Ist auch ein beliebter Fehler. Aber dieses Vorgehen ist unbegründet. Du führst jede Umformung immer an der ganzen Seite durch.
Wenn sich die Operation über der Addition linear verhält, kann man das auch summandenweise tun.

Aber e^(x+y) ist nunmal nicht das selbe wie e^x + e^y, darum gehts hier schief (ebenso beim Quadrieren, Wurzelziehen, logarithmieren, ...)

air
Hirni Auf diesen Beitrag antworten »

Gäbe es eiglt dazu noch alternative Möglichkeiten das x vom ln zu befreien??
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest einen Aufstand anzetteln und mit einem wütendem Mob inklusive Mistgabeln und Fackeln versuchen das ln-Schloss zu stürmen, um die schöne Maid - namens x - aus ihrem Verlies zu befreien.

Ansonsten .... "nein". Kommt drauf an, wie du "Möglichkeit" definierst. Früher oder später läuft es darauf hinaus, die Potenz anzuwenden.

air
Hirni Auf diesen Beitrag antworten »

Mit "Möglichkeit" habe ich schon das gemeint, die jeweiligen Basen zu ändern... das hast du schon richtig verstanden... In diesem Sinne, danke und gute Nacht... auf das ich beim nächsten Mal selbst drauf komme...
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