Beweise von Grenzwerten

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Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise von Grenzwerten
Edit (mY+): Titel irreführend! Modifiziert!

Hallo zusammen,

ich habe über die Ferien die Aufgabe aufbekommen, die zwei folgenden Beweise zu ermitteln:


Beweis 1:



Beweis 2:



Zu beachten ist, dass dies zu beweisen ist ohne die Ableitung zu benutzen, da diese für mich noch nicht bekannt sind.

Bei Beweis 1 habe ich überhaupt keinen anhaltpunkt gefunden.

Bei Beweis 2 dagegen habe ich grafisch [siehe Anhang] entnehmen können, dass diese Graph eine Polstelle hat und einen darauf folgenden Tiefpunkt, was grafisch eine positives Verhalten gegen unendlich somit erklärt. Aber für die Polstelle bräuchte ich wiederrum die Ableitung. Kennt hierfür jemand vielleicht auch einen Ansatzpunkt?

Ich freue mich über Antworten.


Anhang: anhang.ggb
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte was sollst du beweisen? Da steht ein Term. Beweisen kann man nur Aussagen.
Ergo ist die Aufgabe Müll, oder aber hier fehlt etwas, weil mal wieder nur die halbe Aufgabe genannt wurde.

air
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir leid, dass ich natürlich das Wichtige, nämlich das Resultat vom Grenzwert vergessen habe :-/

Aber hier sind die Grenzwerte INKLUSIVE Ergebnis:

Beweis 1


Beweis 2
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wäre noch interessant zu wissen, wo dein h herkommt und ob irgendwelche Bedingungen an das h gestellt sind.
______________________

Bist du sicher, dass deine Ergebnisse stimmen? Ich würde mich wundern, wenn der Grenzwert deiner zweiten Funktion 0 ist.

Edit (mY+): Doppelpost zusammengefügt
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Heute ist nicht mein Tag...
Natürlich sollte der zweite Grenzwert unendlich sein.

Beweis 1


Beweis 2


Und nein, an das h sind keine Bedingungen geknüpft. Es ist frei wählbar. Aber angemerkt, wenn man die Graphen in Geogebra betrachtet sieht man auch, dass h sich nicht auf den Grenzwert auswirkt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die ggb-Datei kann nicht jeder auswerten! Besser ist, du plottest die Funktionen mit dem Funktionsplotter hierorts.



mY+
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also sind wir uns zumindest schonmal bei den Grenzwerten einig Augenzwinkern

Welche Methoden hast du denn um den Grenzwert zu bestimmen (graphische Begründung ist kein Beweis), womit habt ihr bisher gearbeitet?
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Dank dir mythos :-)

Iorek: Wir haben uns quasi gedacht, was dabei herauskommt. Also im Endeffekt einfach den Grenzwert eingesetzt und geguckt was dabei herauskommt.

Meist sind das ja primitive Funktionen, wo etwas einfach 0, undefiniert oder unendlich ist. Aber hier ist das ja etwas mehr denkarbeit :-D
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja, wir müssen aber schon wissen, was du verwenden darfst - ansonsten musst du wohl oder übel deinen Lehrer fragen.

Wie habt ihr Konvergenz/Grenzwerte denn definiert? Kennst du den Satz, dass Monotonie und Beschränktheit auch Konvergenz bedeutet?

Du musst verstehen - man kann solche Aufgaben auf verschiedene Arten lösen. Aber auf keine Einzige, wenn man nicht weiß, welche Werkzeuge im Werkzeugkasten liegen. Augenzwinkern

Mit l'Hospital ist das Ganze zB in zwei Zeilen erledigt. Aber ich denke, mit "ohne Ableitungen" hast du das im Ausgangspost ausschließen wollen.

air
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Einsetzen ist bei etwas schwer, welche Zahl setzt du für unendich ein? Augenzwinkern

Da du ja nicht mit eurem Vorwissen rausrücken willst, ist das etwas schwieriger zu sagen, ich hätte auf Anhieb 2-3 Möglichkeiten da zu zeigen, ich versuchs einfach mal auf die wie ich finde "einfachste", da nicht allzuviele Sachen über Konvergenz bekannt sein muss (sollte ich damit komplett falsch liegen weil ihr davon noch nie was bearbeitet habt, am besten direkt Bescheid sagen, dann suchen wir nach einem anderen Weg Augenzwinkern )

Dein h ist ja beliebig aber fest gewählt, was hat diese feste Wahl dann für eine Auswirkung, wenn du h als Exponenten für dein x wählst?
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Dein h ist ja beliebig aber fest gewählt, was hat diese feste Wahl dann für eine Auswirkung, wenn du h als Exponenten für dein x wählst?

Das is natürlich eine gute Frage. ;P
Also für die Zahl unendlich habe wir uns überlegt eben, was passieren würde wenn wir z.B. 999999999999 einsetzen würden.

Konvergenzgrenze? Ist das etwa die Grenze an der die Winde von der innertropischen Konvergenzzone in die Luft steigen? Big Laugh [Ich habe keine Ahnung wovon du redest^^]

Ich habe aus einem anderen Forum entnommen, dass man diesm am einfachsten nach lHôptial lösen kann. Ich denke, dass ich mir diesen auch mal anschauen werde.

Link zum Thread:
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweise-...stumsfunktionen
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Metropoler
Also für die Zahl unendlich


Alles hinter diesen Worten kannst du in die Tonne kloppen, weil Unendlich keine Zahl ist.


Zitat:
Ich habe aus einem anderen Forum entnommen, dass man diesm am einfachsten nach lHôptial lösen kann.


Aus einem anderen Forum? Na Danke - da sieht man mal wieder, wie manche Posts hier gelesen werden. Ich habe oben genau das gesagt.

Aber den Traum zerstöre ich dir, wie oben eig. auch schon erwähnt, gleich wieder: Du kennst keine Ableitungen, also auch kein l'Hospital.

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganze Geschichte mit L'Hospital (wie im anderen Forum beschrieben) hat einen entscheidenden Schönheitsfehler. Denn bei der h-ten Ableitung wird der Faktor nur dann Null, wenn ! Es ist aber hier nicht vorausgesetzt, dass h eine positive ganze Zahl ist.
Die drei geplottenten Graphen z.B. sind von Funktionen, bei denen h eine rationale Zahl ist, da kannst du ableiten, solange du willst, der Exponent wird nie Null.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Mag sein - aber wer braucht eine Null?
Ich bin glücklich mit l'Hospital, solange der Exponent irgendwann 0 oder negativ wird - gibt ja nette Potenzgesetze. Augenzwinkern

air
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Airblader: Ich wollte mit meine zuvorigen Post nur darauf hinweisen, dass dieses Forum AUCH auf diese Lösung (mit l'Hôptial) hingewiesen hat. Natürlich habe ich deinen Post gelesen. Es tut mir leid, wenn ich mich undeutlich ausgedrückt habe.

Zitat:
Ich bin glücklich mit l'Hospital, solange der Exponent irgendwann 0 oder negativ wird - gibt ja nette Potenzgesetze.

Meinst du damit, dass l'Hôptial doch irgendwie möglich ist? Wenn ja wie?

Also ich habe mich mal an den Ableitungen probiert:
Beweis 1




Beweis 2



Damit haben wir auf jeden Fall schonmal die Ableitungen. Aber hier wüsste ich nicht, wie man damit dann nun weiter meine Beweise versucht zu beweisen. verwirrt
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Was du da machst ist auch grottenfalsch. Du leitest die Funktion ab, mit l'Hospital hat das aber nichts zu tun. Augenzwinkern

Kennst du den Satz von l'Hospital überhaupt?
Ich frage jetzt nämlich zum dritten Mal: Wenn du keine Ableitungen kennst, kennst du auch kein l'Hospital.
Und im ersten Post meintest du, dass du Ableitungen nicht kennst. Was nun? Augenzwinkern

Zitat:
Zu beachten ist, dass dies zu beweisen ist ohne die Ableitung zu benutzen, da diese für mich noch nicht bekannt sind.


air
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Was du da machst ist auch grottenfalsch. Du leitest die Funktion ab, mit l'Hospital hat das aber nichts zu tun. Augenzwinkern

Zum Glück habe ich ja auch nicht gesagt, dass ich das mit l'Hôpital mache, sondern einfach nur die banalen Ableitungen errechne^^.
Ich wollte nur wissen, was dein Post zuvor zu beudeten hat. Denn Mythos hat ja im Endeffekt gesagt, dass mein Beweis mit l'Hôpital nicht zu beweisen ist, da der Exponent auch steigen kann.

Zitat:
Original von Airblader
Kennst du den Satz von l'Hospital überhaupt?
Ich frage jetzt nämlich zum dritten Mal: Wenn du keine Ableitungen kennst, kennst du auch kein l'Hospital.


Der Satz des l'Hôptial besagt:




Ich kenn Ableitungen, aber ich wusste nicht wie diese hier genau sind, da wir e^x noch nicht so spezielle besprochen haben. Aber ich habe mir das gerade angeeignet wie man das nun Ableitet und habe das getan. Augenzwinkern
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Metropoler
Der Satz des l'Hôptial besagt:



Nein, so sieht der Satz sicherlich - und Gott sei Dank - nicht aus. Zumal neben formalen Fehlern in diesem Post auch nicht einmal eine Aussage steht, sondern zwei Terme - und alle Voraussetzungen fehlen auch.

Wenn du l'Hospital verwenden darfst, dann tu es einfach. Nehmen wir mal den Grenzwert von x^h/e^x.

Dann bleibt der Nenner stets gleich, da (e^x)' = e^x ist. Betrachte, was mit dem Zähler passiert.
Nimm der Einfachheit halber erst mal an, h sei natürlich. Was passiert dann?
Kümmere dich dann darum, was bei nicht-natürlichen h passiert.

air
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Naja zumindest habe ich l'Hôptial verstanden. Aber dein Ansatz ist gut. Damit kann ich was anfangen. Dank dir schon einmal für deine Hilfe smile
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Problem.
Falls es übrigens nicht rauskam: Es geht natürlich um die mehrfache Anwendung von l'Hospital.

Und für nicht-natürliche h gebe ich dir gleich mal den Tipp

air
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Der erste Beweis nur für :













Und falls nun , dann kann das x mit negativen Exponenten doch nach unten zum e^x geschreiben werden, was natürlich nichts mehr am Endergebnis ändert.

(1) ist die obige Argumentation sachlich und syntaktisch korrekt?
(2) Wie kann ich das syntaktisch richtig schreiben für Reelle Zahlen?
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee stimmt, der Aufschrieb ist leider furchtbar. Augenzwinkern
Ein Beweis muss nicht immer aus Symbolen bestehen, auch Text ist erlaubt!

Ich mache mal ein Beispiel:
Zitat:
Sei . Durch h-malige Anwendung der Regel von l'Hospital erhält man dann wegen :
.

Dabei ist zu erwähnen, dass die Potenz von x erst bei der h-ten Anwendung verschwindet. Vorher bleibt sie bestehen und damit auch das Verhalten im Unendlichen, weshalb man l'Hospital wiederholt anwenden darf. (*)

Dieser Grenzwert ist offensichtlich Null, da der Zähler konstant bleibt, während der Nenner gegen Unendlich divergiert.


(*) Dies ist wichtig, da du begründen musst, dass l'Hospital immer wieder anwendbar ist!

Und "mit Worten" machst du es nun auch für reelles h. Beschreibe einfach, was bei nicht-natürlichem h irgendwann passiert (negativer Exponent) und was dies bedeutet (indem man es "nach unten schreibt" und wie es sich auswirkt).

Ganz formal korrekt ist das alles nicht, ein paar wenige Dinge fehlen. Aber das ist ja auch Schule, nicht Universität. Augenzwinkern
zB müsste man erst zeigen, dass die entspr. GW überhaupt existieren, bevor man l'Hospital anwenden darf.

air
Metropoler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich Dank dir vielmals Airblade smile Das is gut, dass ich das jetzt verstanden habe, denn man versteht etwas am besten, wenn man sich etwas selbst beibringt. Also dann Werde ich das mit dem negativen Exponenten auch noch ausformulieren und damit wäre hiermit meine Ausgangsfrage komplett geklärt.

Danke mYthos, Airblader, Iorek für eure Bemühungen.

Thread kann geschlossen werden.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Bitteschön. smile

Im Übrigen werden Threads hier nicht geschlossen, wenn sie beantwortet sind - welchen Sinn sollte es haben? Vielleicht gibts ja doch noch Probleme oder Fragen. Augenzwinkern

air
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Airblader
Mag sein - aber wer braucht eine Null?
Ich bin glücklich mit l'Hospital, solange der Exponent irgendwann 0 oder negativ wird - gibt ja nette Potenzgesetze. Augenzwinkern

air


Mit der Null habe ich mich auf den zitierten Beitrag im anderen Forum bezogen, denn dort stand explizit, dass bei der h-ten Ableitung der Faktor zu Null wird. Und das stimmt nur bei natürlichen h. Dass bei vielmaliger Ableitung (genau bei: [h] + 1) der Exponent irgendwann negativ wird und daher als positiv in den Nenner kommt und somit der Grenzwert berechenbar wird - nun, darauf sollte ja der Fragesteller kommen.

mY+
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Das interessante ist ja, dass der Faktor (Koeffizent) selbst eben nicht Null wird. Dies geschieht ja erst bei der (h+1)-ten Ableitung. Allerdings ist l'Hospital nur bis zum h-ten Mal möglich (reicht dann ja aber auch schon).

air
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