Fixkörper explizit angeben

02.01.2010, 13:43	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Fixkörper explizit angeben Hallo, ich würde gerne wissen, wie man einen Zwischenkörper einer algebraischen Körpererweiterung explizit bestimmen kann. Folgende Informationen sind bekannt: $\begin{eqnarray} K=\mathbb Q, \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} L=\mathbb Q(x_1) \end{eqnarray}$ ist Erweiterungskörper und Zerfällungskörper eines (normierten und irreduziblen) Polynoms $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , welches in $\begin{eqnarray} L \end{eqnarray}$ die Nullstellen $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray}$ besitzt. (d.h. $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist Minimalpolynom von $\begin{eqnarray} x_1, x_2, x_3, x_4 \in L. \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} L\|K \end{eqnarray}$ ist somit normal und separabel $\begin{eqnarray} (char(K)=0) \end{eqnarray}$ und somit eine galoissche Erweiterung. Es ist noch bekannt, dass $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{-3}{x_1} \end{eqnarray}$ gilt. Der zu dem Homomorphismus $\begin{eqnarray} \sigma : x_1 \mapsto x_2 \end{eqnarray}$ gehörende Zwischenkörper soll nun berechnet werden. Er existiert wegen dem Hauptsatz der Galoistheorie und es gilt: $\begin{eqnarray} L^{ \{id, \sigma\} } \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \left \{ a \in L\ \|\ \sigma(a)=a \right \} \end{eqnarray}$ Der Fixkörper soll aber in der Fom $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha ) \end{eqnarray}$ angegeben werden. Ich weiss nicht, wie man den Zwischenkörper berechnen kann. Hoffe, ihr könnt mir helfen, Danke, Ciao, Thorsten
02.01.2010, 14:01	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixkörper explizit angeben Betrachte das Polynom x^4+3.
02.01.2010, 14:28	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Und was bringt mir das konkret? Das Polynom ist irreduzibel und hat vier Nullstellen, insbesondere Grad 4. Das entspricht aber nicht dem Grad der Körpererweiterung von $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\alpha) \end{eqnarray}$ , wobei letzteres der gesuchte Zwischenkörper ist.
02.01.2010, 14:39	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
... zerfällt aber über $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{-3} ) \end{eqnarray}$ in zwei quadratische Faktoren.
02.01.2010, 14:55	thorsten_s.	Auf diesen Beitrag antworten »
Heisst das, dass $\begin{eqnarray} \mathbb Q(\sqrt{-3}) \end{eqnarray}$ der gesuchte Zwischenkörper ist?
02.01.2010, 16:51	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du x^4+3 mal 0 gesetzt und gelöst und die beiden quadratischen Faktoren gefunden?
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