Klammerungen von Reihen

02.01.2010, 13:51

Explo

Klammerungen von Reihen

Das neue Jahr hat begonnen also ab gehts mit karacho xD

Mieser Weise macht mir direkt auch schon die erste Aufgabe Probleme :/

Alsoo ..

Es seien $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k } \end{eqnarray*}$ eine unendliche Reihe und $\begin{eqnarray*} (n_{l})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Auswahlfolge. Die zugehörige Klammerung der Reihe ... ist die Reihe:

$\begin{eqnarray*} (a_{0} + ... + a_{n_{0}} ) + ... +(a_{n_{k-1}+1} + ... a_{n_{k}}) + ... \end{eqnarray*}$

wobei die erste Klammer dann $\begin{eqnarray*} = b_{0} \end{eqnarray*}$ und die zweite $\begin{eqnarray*} = b_{k} \end{eqnarray*}$

d.h die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} b_{0} := \sum\limits_{l=0}^{n_{0}} a_{l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{k} := \sum\limits_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}} a_{l} , k \geq 1 \end{eqnarray*}$

a) Beweisen sie, dass wenn die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k } \end{eqnarray*}$ konvergiert auch die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} = \sum\limits_{k=0}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$

b) Klammern sie die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^{k} \end{eqnarray*}$ so, dass die resultierende Reihe
i) den Wert -1 annimt
ii) den Wert 0 annimt

b) ii= ist die Klammerung dann ja "einfach" (1-1) + (1-1) + ... sprich $\begin{eqnarray*} (b_{0} + b_{1}) + (b_{2} + b_{3}) + ... \end{eqnarray*}$

für i) dann (1-1+1) + ... + (1-1+1) + ... aprich $\begin{eqnarray*} (b_{0} + b_{1} + b_{2}) + b_{3} + (b_{4} + b_{5} + b_{6}) + ... \end{eqnarray*}$

nur reicht das so auch aufzuschreiben? Wüsste grad nicht, wie ich das irgendwie formaler hinbringen sollte .. (falls es überhaupt richtig ist..
und zu a) fehlt mir jeglicher Ansatz grad =/...

Danke im vorraus !

02.01.2010, 15:38

Jako

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Die Klammerung ändert ja weder an der Anordnung noch an den Gliedern selber irgendwas.

Ich denke man kann das mit dem Cauchy-Kriterium für Reihen machen.

02.01.2010, 16:00

Explo

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Kann man dann / Reicht es zu sagen:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

=> Ihre Partialsummen konvergieren

=> Alle möglichen Summen der Klammern konvergieren

=> $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert

02.01.2010, 16:21

WebFritzi

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Zitat:

Original von Explo
=> Alle möglichen Summen der Klammern konvergieren

Das gilt es zu präzisieren.

02.01.2010, 17:31

Explo

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Zitat:

Original von Explo
Kann man dann / Reicht es zu sagen:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

=> Ihre Partialsummen konvergieren

Dann sind

$\begin{eqnarray*} s_{0} := \sum\limits_{l=0}^{n_{0}} a_{l} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_{k} := \sum\limits_{l=n_{k-1}+1}^{n_{k}} a_{l} , k \geq 1 \end{eqnarray*}$

Partialsummen von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ und somit konvergent.

=> $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty b_{k} \end{eqnarray*}$ = Summe der Partialsummen und damit konvergent.

So würde ichs jetz halt aufschreiben..

02.01.2010, 18:04

WebFritzi

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Du musst zeigen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (S_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{k=0}^n\,b_k \end{eqnarray*}$

konvergiert.

03.01.2010, 15:17

Jako

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Aber es ist doch so, dass

$\begin{eqnarray*} S_n := \sum_{k=0}^n\,b_k = \sum_{k=0}^{n_0}\,a_k + \sum_{k=1}^{n_k}\,(a_{n_{k-1}+1} + ... + a_{n_{k}}) \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert:

gibt es für alle epsilon> 0 ein N, sodass für alle m > n > N gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=n+1}^{m}\,(a_{k}) = (a_{n+1} + ... + a_{m}) < epsilon \end{eqnarray*}$

und weil ja alle b aus summierten a bestehen, ohne Änderung der Anordnung gilt auch damit auch:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n_k}\, (b_k) = (a_{n_{k-1}+1} + ... a_{n_{k}}) < epsilon \end{eqnarray*}$

gilt.

03.01.2010, 15:22

Jako

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Am Schluss:

Für die Reihe der b muss der Laufindex natürlich auch ausreichend groß sein.

muss wahrscheinlich heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k={n+1}}^{m_k}\, (b_k) = (a_{n_{i-1}+1} + ... + a_{m_{k}}) < epsilon \end{eqnarray*}$

03.01.2010, 17:32

Smartie

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RE: Klammerungen von Reihen

Zitat:

Original von Explo

b) ii= ist die Klammerung dann ja "einfach" (1-1) + (1-1) + ... sprich $\begin{eqnarray*} (b_{0} + b_{1}) + (b_{2} + b_{3}) + ... \end{eqnarray*}$

für i) dann (1-1+1) + ... + (1-1+1) + ... aprich $\begin{eqnarray*} (b_{0} + b_{1} + b_{2}) + b_{3} + (b_{4} + b_{5} + b_{6}) + ... \end{eqnarray*}$

Sieh im Beispiel auf deinem Arbeitsblatt, das müssten jetzt die Auswahlfolgen i) (3l) und ii) (2l) sein, wenn ich das Beispiel auf dem Arbeitsblatt richtig verstanden habe

03.01.2010, 17:37

Explo

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klingt logisch Freude

Frag ich mich nur, was dann mit dem 4. Element bei i) ist?
ist das für die Auswahlfolge dann egal?

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Klammerungen von Reihen

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