Wettbewerb! Streckenzug im Dreieck

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wlodak Auf diesen Beitrag antworten »
Streckenzug im Dreieck
Liebe Forumsmitglieder,

mein Sohn hat auch in diesem Jahr wieder eine Knobelaufgabe in Mathe bekommen. Ich, als sein alter Herr, möchte ihm gerne zeigen, dass ich nicht alles verlernt habe.
Vielleicht könnt Ihr mir helfen.

Die Zeichnung findet Ihr im Anhang.

In einem Dreieck ABC beginnt bei einem Punkt P der Seite BC ein Streckenzug, dessen Eckpunkte der Reihe nach auf den Seiten BA, AC, CB, BA, AC und wieder auf CB liegen. Die Winkel, die die Strecken mit diesen Seiten einschließen, sind der Reihe nach alpha, beta, beta, gamma, gamma und wieder alpha.

Frage: endet der Streckenzug in Punkt P?

In der Zeichnung sind die roten Winkel alpha, die grünen beta und die schwarzen gamma.

Ich kann zwar beweisen, dass die Strecke S5P parallel zu AB ist, habe aber keine Ahnung, wie ich aufzeigen kann dass die Höhe durch S5 auf AB gleich der Höhe durch P auf AB ist.

Für weiterführende Tipps wäre ich sehr dankbar.

Michael
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streckenzug im Dreieck
wenn du beweisen kannst, dass S5P parallel AB ist, was willst du dann noch beweisen.
das ist doch alles, was du brauchst smile
wlodak Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streckenzug im Dreieck
Ich habe mich wohl falsch ausgedrückt.

Ich kann nur beweisen, dass die Strecke, die von S5 weiterführt parallel zu AB ist, leider nicht, dass sie die Seite BC im Punkt P trifft.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Streckenzug im Dreieck
Zitat:
Original von wlodak
Ich habe mich wohl falsch ausgedrückt.

Ich kann nur beweisen, dass die Strecke, die von S5 weiterführt parallel zu AB ist, leider nicht, dass sie die Seite BC im Punkt P trifft.


zeige mit hilfe von strahlensatz und ähnlicher dreiecke, dass gilt:

wlodak Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich dann so vorgehen:

Die Dreiecke A S4 S5, S1 B P und S5 P C sind ähnlich weil sie in zwei (und somit in 3) Winkeln übereinstimmen.

Da zueinander ähnliche Dreiecke in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen gilt: AS5:AC = BP:BC.

Aus dem 1. Strahlensatz folgt dann, dass die von S5 weiterführende Strecke (die ja parallel zu AB ist) die Seite BC nur in Punkt P treffen kann.


Oder habe ich da was übersehen?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wlodak
Kann ich dann so vorgehen:

Die Dreiecke A S4 S5, S1 B P und S5 P C sind ähnlich weil sie in zwei (und somit in 3) Winkeln übereinstimmen.

Da zueinander ähnliche Dreiecke in allen Verhältnissen entsprechender Seiten übereinstimmen gilt: AS5:AC = BP:BC.

Aus dem 1. Strahlensatz folgt dann, dass die von S5 weiterführende Strecke (die ja parallel zu AB ist) die Seite BC nur in Punkt P treffen kann.


Oder habe ich da was übersehen?


ja, hast du unglücklich

so (einfach) geht es nicht.
du sollst ja genau das zeigen, dass die 3 punkte S_5, P und C ein ähnliches dreieck bilden!
(das gilt ja nur, wenn die gerade durch S_5 und P parallel zu AB ist, bzw. der punkt P auf der zu AB parallelen geraden durch S_5 liegt)
 
 
wlodak Auf diesen Beitrag antworten »

Da im Dreieck S5 P C der Winkel bei S5 alpha (lt. Vorgabe) und der bei C gamma (lt. Vorgabe) ist, muss der bei P ja beta sein und damit ist dieses Dreieck ähnlich zu den genannten Dreiecken und zum Dreieck ABC.

Wo hakt´s denn jetzt noch?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von wlodak
Da im Dreieck S5 P C der Winkel bei S5 alpha (lt. Vorgabe) und der bei C gamma (lt. Vorgabe) ist, muss der bei P ja beta sein und damit ist dieses Dreieck ähnlich zu den genannten Dreiecken und zum Dreieck ABC.

Wo hakt´s denn jetzt noch?


immer an derselben stelle, die du ja eingangs selbst erwähnt hast:

du mußt zeigen, dass und auf EINER parallelen zu AB liegen.
dass der winkel bei und der bei ist, bedeutet ja nur, dass die entsprechenden geraden durch bzw. parallel zu AB sind, aber NICHT, dass die verbindungsstrecke parallel zu AB ist.

(du setzt das, was du beweisen sollst, schon voraus, um es zu beweisen smile )

vielleicht hilft das bilderl und ein tipp, wie es gehen kann:

nenne , berechne nun aus der ähnlichkeit
nun geht´s abwechselnd weiter mit strahlensatz und ähnlichkeit bis du zu kommst, und die schnitzeljagd ist erfolgreich abgeschlossen.

möglich, dass es noch einfacher geht smile
wlodak Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Denkfehler ist mir jetzt klar :-).

Das ist aber auch das einzig Erfreuliche.

Das Dreieck S1PB ist ja ähnlich zum Dreieck ABC. Allerdings ist S1P nicht parallel zu AC, da im Dreieck S1PB der Winkel alpha bei Punkt P liegt. Ich habe keine Ahnung, wie ich BS1 berechnen soll.

Vielleicht liegt meine Schulzeit doch zu lange zurück. Für etwas mehr Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Michael
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

du mußt immer die ähnlichkeit aller dreiecke zum dreieck ABC benutzen smile
A für ählich zu , S für strahlensatz

also mit





mit A bekommst du nun
mit S

und letzendlich mit A qued

wenn´s noch klemmt, mich hat´s auch gequält,
das sind halt die sylvesternachwehen mit den vielen indizes smile
also weiter fragen, aber ich denke, das schaffst du jetzt auch alleine
wlodak Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Werner,

ich glaub, so langsam kapier ich´s - trotzdem nochmals zur Klarstellung (vor allem, weil Du die Gleichungen schon aufgelöst hast):

BS1 = p x (BC:AB) folgt aus BS1:p = BC:AB
CS2 = p x (AC x BC : AB²) folgt aus CS2:p = (ACxBC):AB²

Stimmt das soweit?


CS3:p = hier hakt´s leider wieder und leider auch bei
AS4:p = ?

Die letzte Gleichung leuchtet mir dann wieder ein :-).


P.S. Ich glaube in Deiner Zeichnung ist S5 etwas zu hoch gerutscht.

Michael
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du möchtest, dass ich dieses grausliche zeugs lese, mußt auch du es in LATEX schreiben. da ist es schon mühsam genug.

so in etwa dürfte es stimmen.

ich habe dir noch einmal ein bilderl dazu gemacht, du mußt halt jedes mal das dreieck geeignet drehen



der strahlensatz von A aus liefert nun:



benutzung der ähnlichkeit - richtig drehen und skizze machen! - ergibt



jetzt wendest du den strahlensatz von B aus an und bekommst so und anschließend wie oben angegeben
e^x Auf diesen Beitrag antworten »

glückwunsch riwe du hast grade ne aufgabe von der 2.Runde des laufenden Landeswettbewerbs gelöst. ich weiß aber nicht ob du in deinem Alter noch mitmachen darfst smile
aber jetzt mal ernsthaft, wlodak du bist echt erbärmlich^^ Die Aufgaben in diesem Jahr sind wirklich so leicht, wer die nicht hinbekommt der sollte sich ne andre Beschäftigung suchen oder was hast du denn davon? Gewinnen kann man nichts außer nem Kurzseminar, wo man auch hin kann, wenn man die Aufgaben falsch hat. Der Sinn in dem Wettbewerb liegt doch primär darin, Spaß an dem Lösen solcher Aufgaben zu haben, und nicht sich diese Aufgaben von anderen machen zu lassen...Aber wenn dir so viel an den Aufgaben liegt, kann ich dir gerne die andren Lösungen noch schicken, welche willste, die zu den Primzahlen oder dem Stufendreieck oder Aufgabe 4? verwirrt

Aber was positives hat die ganze Sache ja auch, letztes Jahr wolltest du wenn ich mich richtig errinere die Lösung von 2 Aufgaben, dieses Jahr scheint es nur eine zu sein, was für ne Steigerung bei solchen Aufgaben ...
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

@e^x deine glückwünsche kannst du dir sparen
woher soll ich wissen, dass so etwas simples eine wettbewerbsaufgabe ist.

mit dem rest hast du natürlich recht.
wer schummeln muß, sollte gar nicht teilnehmen.

nebenbei würde ich die aufgabe sowieso ganz anders und viel einfacher lösen smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem Wlodak hier schon von mYthos ermahnt wurde, keine Aufgaben aus laufenden Wettbewerben zu stellen, hat er es wieder getan.

Ich meine, dies sollte ernsthafte Konsequenzen haben und werde des Ausschluss von Wlodak als Mitglied beantragen.

Weiterhin schließe ich den Thread.
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Lösungen mal in den Moderatorenbereich verschoben. Nach Ende des Wettbewerbs wird der Thread wieder komplett sein.

Wenn jemand weiß, bis wann der Wettbewerb geht, dann bitte kurze Nachricht an mich.

Bis dahin bleibt er aber geschlossen.

EDIT
Abgabe ist am 18.2.2009. Danach kann über diese Aufgabe wieder diskutiert werden.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Auf Grund des Ablauf der Termines und unter Berücksichtigung des Postweges wurde der Thread wieder geöffnet.

mY+
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

hallo mythos,
kannst du auch meine beiträge wieder herschieben.
ich habe eine entsprechende bitte eines "interessenten" per pn.
danke schön
Calvin Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Erinnerung. Damit die Zusammenhänge erhalten bleiben, habe ich alle Beiträge wieder hier eingefügt.
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