Bedingte Erwartung

02.01.2010, 19:56

Lucia83

Bedingte Erwartung

Guten Abend,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Ein Messgerät misst nur auf Mikrometer genau, sodass für n \in \mathbb N alle Durchmesser d mit n-0,5 \leq d \leq n+0,5 zum Messergebnis n führen. Der zu messende Durchmesser d kann als exp(\lambda) - verteilte Zufallsgröße X aufgefasst werden. Die durch das Messgerät bedingte vergröberte Messung Y ist dann ebenfalls eine Zufallsgröße.
X:= Id_{[0,\infty)}.
1) Berechne die Verteilung von Y sowie die Erwartungswerte von X und Y.
2) Beschreibe die von Y erzeugte Sigma-Algebra und berechne die bedingte Erwartung E[X|Y].

Der Erwartungswert von X ist kein Problem. Das ist ja eine exponentialverteilte ZV. Allerdings kenne ich die Verteilung von Y nicht und kann mir diese auch nur schwer erklären. Wie könnte man da vorgehen um die Verteilung von Y zu erhalten?

Gruß

02.01.2010, 20:00

Lucia83

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RE: Bedingte Erwartung

Zitat:

Original von Lucia83
Guten Abend,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:
Ein Messgerät misst nur auf Mikrometer genau, sodass für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ alle Durchmesser d mit $\begin{eqnarray*} n-0,5 \leq d \leq n+0,5 \end{eqnarray*}$ zum Messergebnis n führen. Der zu messende Durchmesser d kann als $\begin{eqnarray*} exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ - verteilte Zufallsgröße X aufgefasst werden. Die durch das Messgerät bedingte vergröberte Messung Y ist dann ebenfalls eine Zufallsgröße.
$\begin{eqnarray*} X:= Id_{[0,\infty)} \end{eqnarray*}$ .
1) Berechne die Verteilung von Y sowie die Erwartungswerte von X und Y.
2) Beschreibe die von Y erzeugte Sigma-Algebra und berechne die bedingte Erwartung E[X|Y].

Der Erwartungswert von X ist kein Problem. Das ist ja eine exponentialverteilte ZV. Allerdings kenne ich die Verteilung von Y nicht und kann mir diese auch nur schwer erklären. Wie könnte man da vorgehen um die Verteilung von Y zu erhalten?

Gruß

02.01.2010, 20:32

Lord Pünktchen

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RE: Bedingte Erwartung
Also X ist $\begin{eqnarray*} Exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ - verteilt.

Wenn ich die Aufgabensetllung richtig verstanden habe, dann gilt ja:

$\begin{eqnarray*} P(Y=n) = P(X \in (n-0,5;~n+0,5]) \end{eqnarray*}$

In diesem Falle sollte der Rest nun machbar sein, oder?

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