Schmidtsches Orthonormierungsverfahren samt linearer Hülle

02.01.2010, 21:00	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Schmidtsches Orthonormierungsverfahren samt linearer Hülle Hallo, habe nur kurz eine Frage zum Schmidtschen Orthonormierungsverfahren. Im R³ sind die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1=(1,0,-1)^T \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v_2=(1,1,-1)^T \end{eqnarray}$ , und $\begin{eqnarray} v_3=(-1,2,-2)^T \end{eqnarray}$ , gegeben. a) Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis F: $\begin{eqnarray} f_1,f_2,f_3 \end{eqnarray}$ von R³ derart, dass $\begin{eqnarray} L(f_1)=L(v_1) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} L(f_1,f_2)=L(v_1,v_2) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L(f_1,f_2,f_3)=L(v_1,v_2,v_3) \end{eqnarray}$ gilt. Also wie das Orthonormierungsverfahren nach Schmidt geht ist mir klar, nur im Zusammenhang mit der linearen Hülle verwirrt mich das. 1.Also L(f_1) soll L(v_1) sein. Bei Schmidt nehme ich ja irgendeinen Basisvektor also hier v_1 und normiere ihn, und setzte ihn als f_1. Die Bedingung mit der linearen Hülle ist also erfüllt. 2. Für L(f_1,f_2,f_3)=L(v_1,v_2,v_3) : Mit Schmidt erhalte ich ja eine Orthonormalbasis für den R³, diese deckt also den ganzen R³ ab, die lineare Hülle ist ja dann der R³, wie es auch bei den Vektoren V war. Die Vektoren V bilden ja ebenfalls eine Basis des R³. Also auch erfüllt automatisch durch Schmidt. 3. Nur bei $\begin{eqnarray} L(f_1,f_2)=L(v_1,v_2) \end{eqnarray}$ haperts bei mir, da bin ich mir nicht sicher ob Schmidt das dann auch automatisch erfüllt...weil die lineare Hülle $\begin{eqnarray} L(v_1,v_2) \end{eqnarray}$ ist ja eine Ebene, nur die Frage ist, ob ich bei Schmidt diesselbe Ebene erhalte , also die gleiche lineare Hülle... Vielen Dank für ein paar Tipps Grüße und ein gut's neues Jahr wünscht Physinetz
02.01.2010, 21:14	Manus	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist automatisch erfüllt^^ Die beiden Vektoren sind linear unabhängig (sollte klar sein, sonst hast du nachher keine Basis) Und alle Basis-Vektoren, die du zu dem Zeitpunkt hast, sind doch Linear-Kombinationen von v1 und v2...

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