Problem mit Krümmungsverhalten

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03.01.2010, 13:01	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Krümmungsverhalten Hallo alle zusammen, ich soll bei der folgenden Funktion eine Kurvendiskussion durchführen: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x-1} \end{eqnarray}$ So, Definitionsbereich ist klar, halt einfach IR\{-1,1} Nullstellen auch, da der Zähler nie Null wird, gibt es keine Nullstellen. Die erste Ableitung ist: $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{-1}{(x-1)^2} \end{eqnarray}$ Da die erste Ableitung auch nie Null wird (Zähler immer ungleich Null), gibt es auch keine Extrema. Soweit so gut, jetzt will ich jedoch auch noch das Krümmungsverhalten untersuchen, wozu ich ja die Wende-/Sattelpunkte der Funktion benötige. Dazu brauche ich ja meine zweite Ableitung, die da wäre (nach kürzen): $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{2}{(x-1)^3} \end{eqnarray}$ So und die muss ja Null sein, damit ich einen Wendepunkt habe, allerdings ist die ebenfalls nie Null, da der Zähler nie Null wird. Daher müsste ich doch im Gesamten Definitionsbereich das GLEICHE Krümmungsverhalten haben, oder? Denn ohne Wendepunkte kann sich das Krümmungsverhalten ja nicht ändern oder doch? Denn wenn ich jetzt das Krümmungsverhalten wissen will brauch ich ja nur irgendeine Zahl aus IR/{-1;1} einsetzten; Wenn ich jetzt aber zum Beispiel 4 und -4 einsetze, erhalte ich verschiedene Ergebnisse: $\begin{eqnarray} f''(4)=\frac{2}{(4-1)^3}=\frac{2}{27} > 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(-4)=\frac{2}{(-4-1)^3}=\frac{2}{-127}<0 \end{eqnarray}$ So und hier liegt doch ein Wiederspruch vor, oder? Denn es ändert sich ja das Krümmungsverhalten, allerdings gibt es keine Wendepunkte! Das kann doch nicht sein, oder wo liegt mein Denkfehler?
03.01.2010, 13:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte: Widerspruch Das Krümmungsverhalten kann sich auch dann ändern, wenn bei der Funktion Polstellen vorliegen. Diese bewirken den gleichen Effekt wie Wendepunkte. Die Polstellen können im weiteren Sinne als virtuelle Wendepunkte angesehen werden (hier bei x = 1). mY+
03.01.2010, 13:37	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahhh ok vielen Dank, jetzt kapier ich das! Also muss man immer beim Krümmungsverhalten auch noch sämtliche Definitionslücken betrachten? Oder weiß ich irgendwoher ob sich das Krümmungsverhalten an einem Pol ändert oder nicht?
03.01.2010, 18:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Krümmungsverhalten muss sich an einem Pol nicht unbedingt ändern. Bei einem Pol ohne VZW (Vorzeichenwechsel) tut es das nämlich nicht; der Pol kann dann als virtuelles Extremum angesehen werden. Welche Krümmung liegt im gesamtem Definitionsintervall vor? mY+
03.01.2010, 18:30	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok jetzt isses mir klar Also die zweite Ableitung deiner Funktion ist ja: $\begin{eqnarray} f''(x)=\frac{6}{x^4} \end{eqnarray}$ Da sieht man ja schon, egal welche Zahl ich einsetze, egal ob größer oder kleiner als Null, das Ergebniss ist immer POSITIV und somit GRÖßER als Null. Also ist die zweite Ableitung IMMER größer als Null, für alle x aus dem Definitionsbereich. Daher ist die Funktion in ihrem gesamten Definitionsbereich LINKSGEKRÜMMT! Richtig so?
03.01.2010, 18:44	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt so. Einigen wir uns aber bitte auf die richtige Schreibweise von: Ergebnis mY+
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03.01.2010, 21:07	Parabolus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Krümmungsverhalten @ eey Schaue Dir noch mal den Definitionsbereich von f an!!!!
03.01.2010, 22:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Definitionsbereich enthält ja ohnehin NICHT x = 0 (bzw. in der ersten Aufgabe x = 1) mY+
04.01.2010, 00:17	Explo	Auf diesen Beitrag antworten »
er meinte aber, dass der DB auch NICHT -1 enthällt
04.01.2010, 10:05	eey	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach ja, stimmt, -1 ist natürlich SCHON im Definitionsbereich. Hatte schlampig abgeschrieben

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