Formel für Zählen von Buchstaben

03.01.2010, 13:16

Pianomatze91

Formel für Zählen von Buchstaben

Hallo zusammen!
Ich suche eine Formel, mit der man alle verschiedenen Möglichkeiten zur Bildung eines Wortes zählt.
Beispiel: 3 Buchstaben (a,b,c)

a,b,c,ab,ac,ba,bc,ca,cb,abc,acb,bac,bca,cab,cba -> 15 Möglichkeiten

Hab schon mehrere Möglichkeiten durch, finde aber keine, die zu allem passt.
Danke für eure Hilfe! smile

PS: Ich bin kein Student, hab nur gedacht, dass ihr hier besser damit klarkommt.

03.01.2010, 13:34

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Zitat:

Original von Pianomatze91
Ich suche eine Formel, mit der man alle verschiedenen Möglichkeiten zur Bildung eines Wortes zählt

... wo jeder der vorgegebenen Buchstaben höchstens einmal vorkommt? Das entnehme ich zumindest deiner Auflistung für a,b,c.

Na betrachte doch erstmal die entsprechende Anzahl Variationen für eine feste Wortlänge $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ bei einer Ausgangsmenge von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Buchstaben, das ist $\begin{eqnarray*} \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$ . Und dann nur noch summieren von $\begin{eqnarray*} k=1,\ldots,n \end{eqnarray*}$ . Wesentlich vereinfachen kann man diese Summe nicht - falls das deine Intention sein sollte.

03.01.2010, 15:33

Pianomatze91

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Also wäre die Formel:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$

1. Wie kommt man auf diese Formel, bzw. allgemein auf solche Formeln?
2. Was ist mit n=0?
3. Warum ist 0!=1?

Und jetzt mal eine Beispielrechnung mit der Formel. (n=3)
1!/(1-1)!=1
2!/(2-1)!=2
3!/(3-1)!=3
Insgesamt 6, müssten aber 15 sein. Was mache ich falsch?

Danke für die Hilfe! smile

03.01.2010, 17:21

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Zitat:

Original von Pianomatze91
1. Wie kommt man auf diese Formel, bzw. allgemein auf solche Formeln?

Indem man die Grundformel für Variationen kennt (oder mal hergelitten hat) und dann so nachdenkt, wie ich es oben ausführlich dargelegt habe.

Zitat:

Original von Pianomatze91
2. Was ist mit n=0?

Sinnfreie Frage - wieviel Wörter kann man schon aus Null Buchstaben bilden?

Zitat:

Original von Pianomatze91
3. Warum ist 0!=1?

Weil es so definiert ist, und mit dieser Definition auch am meisten Sinn macht (hinsichtlich Rekursion, etc., etc.)

Zitat:

Original von Pianomatze91
Und jetzt mal eine Beispielrechnung mit der Formel. (n=3)
1!/(1-1)!=1
2!/(2-1)!=2
3!/(3-1)!=3
Insgesamt 6, müssten aber 15 sein. Was mache ich falsch?

Du setzt falsch ein: Für n=3 ist gemäß obiger Formel

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{n!}{(n-k)!} = \sum\limits_{k=1}^3 \frac{3!}{(3-k)!} = \frac{3!}{2!} + \frac{3!}{1!} + \frac{3!}{0!} = 3 + 6 + 6 = 15 \end{eqnarray*}$ .

Konzentration!!!

04.01.2010, 18:09

Pianomatze91

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Dankeschön für die Antworten und Entschuldigung, dass ich so schwer von Begriff bin, hab damit noch nie gerechnet, das nächste mal konzentriere ich mich mehr. Augenzwinkern

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