Fibonacci-Zahlen Beweis!

03.01.2010, 13:56	Mäuschen1985	Auf diesen Beitrag antworten »
Fibonacci-Zahlen Beweis! Hallo! Ich habe eine Aussage für die Fibonacci-Zahlen und soll diese beweisen, durch vollständige Induktion. So siehts aus: $\begin{eqnarray} F_{n} = \lfloor\frac{1}{\sqrt{5} } \left(\frac{1 +\sqrt{5} }{2} \right)^{n} + \frac{1}{2}\rfloor \end{eqnarray}$ Wenn ich Anfange also mit dem Induktionsanfang: setze ich für n = 1 ein, komme dann darauf das: $\begin{eqnarray} F_{1} = 1 = \lfloor1,27\rfloor \end{eqnarray}$ Das ist also schonmal wahr! Dann kommt die Induktionsvorraussetzung die besagt, dass $\begin{eqnarray} F_{n} = \lfloor\frac{1}{\sqrt{5} } \left(\frac{1 +\sqrt{5} }{2} \right)^{n} + \frac{1}{2}\rfloor \end{eqnarray}$ gilt! Dann gehts weiter mit dem Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} F_{n+1} = F_{n} + F_{n-1} = \lfloor\frac{1}{\sqrt{5} } \left(\frac{1 +\sqrt{5} }{2} \right)^{n} + \frac{1}{2}\rfloor + F_{n-1} = \end{eqnarray}$ Und ab hier weiss ich nicht mehr weiter kann mir da einer helfen? wäre echt nett! lg mäuschen!
03.01.2010, 14:08	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fibonacci-Zahlen Beweis! Hm, sehr weit bist da aber noch nicht gekommen, nicht einmal der Induktionsanfang ist vollständig... Und ohne die exakte Formel $\begin{eqnarray} F_n =\frac 1 {\sqrt 5} \left( \left( \frac {1+\sqrt 5}2 \right)^n- \left( \frac {1-\sqrt 5}2 \right)^n \right) \end{eqnarray}$ geht schon mal gar nichts...
03.01.2010, 14:20	Mäuschen1985	Auf diesen Beitrag antworten »
wie meinst du das mit der exakten formel? In meiner Aufgabe steht nur die mit der unteren gaußklammer, die ich im 1. Post geschrieben habe...
03.01.2010, 14:49	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wahrheit schaut so aus: In deiner Aufgabe steht (in so verklauselierter Form, dass du das nicht durchschaut hast), dass man in der exakten Formel nur den ersten Term $\begin{eqnarray} \frac 1 {\sqrt 5} \left(\frac {1+\sqrt 5}2 \right)^n \end{eqnarray}$ berücksichtigen muss, den zweiten kann man "unter den Tisch fallen lassen", wenn man zum Ausgleich obiges Ergebnis auf die nächste ganze Zahl rundet...

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