Bewegungen/Fixpunkte

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Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungen/Fixpunkte
Moin moin,

wollte mal wissen wie man das hier angeht:

Die affinen Abbildungen : , und von R³ nach R³ mit

, und sind gegeben.

a) Bestätigen Sie, dass Bewegungen sind.

b) Bestimmen Sie die Fixpunkte von . Kann es sich auch bei diesen beiden Abbildungen um Drehungen handeln?



Also zu a) ist mir eingefallen:

Eine Bewegung liegt dann vor, wenn bei einer affinen Abbildung die Abstände aller Punkte zueinander gleich bleibt. Also letztlich gilt:

für alle P,Q Element R^n.


In meinem Fall kann ich mir ja auch 2 Punkte P und Q herausgreifen:

sodass gilt:

Aber das haut ja nicht hin,weil noch ein A (Matrix) übrig bleibt...

1) Weiß jemand Rat?

2) handelt es sich bei P und Q um Punkte oder Vektoren? Weil in den Abbildungen tauchen ja mit v und w Vektoren auf, und keine Punkte?



b) Die Fixpunkte für kann ich ja vielleicht so bestimmen, dass ich die Drehachse von A bestimme, und anschließend diese um den Vektor s bzw. t verschiebe? Weil bei handelt es sich ja um eine Drehung mit Translation?


Grüße Physinetz

Danke Gott
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bewegungen/Fixpunkte
Hi physi,

Zu a): Wenn Du schon von einer Drehachse von A redest, dann liegt es doch nahe, dass A auch ein Drehung ist. Drehungen sind aber immer längenerhaltend, d.h. |Ax|=x für alle Vektoren x.

Zu b): Ein Punkt auf der Drehachse bleibt unter A fest und wird dann um s verschoben. Also . Wie soll so ein Punkt festbleiben?
Mach doch einfach den naheliegenden Ansatz zur Bestimmung der Fixpunkte von beliebigen Funktionen.

Gruß,
Reksilat.
 
 
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

zu a)

Hmm auch wenn es sich um eine Drehung handelt, sollte ich das doch beweisen/bestätigen, deshalb die Frage nach dem Ansatz ob meiner da richtig ist und wie ich da weitermachen muss

zu b)

versteh ich leider nicht was du meinst...bitte auch nochmal helfen

danke
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zu a): Dein Ansatz war richtig und es blieb zu zeigen, dass immer |Ax|=|x| gilt. Das kann man entweder als gegeben hinnehmen, da A ja eine Drehung ist, oder eben für dieses spezielle A direkt nachrechnen. (Einfach ansetzen und die obige Gleichung nachrechnen.)

Zu b): Wenn man sich mit Fixpunkten einer Abbildung beschäftigen will, muss man wissen was ein Fixpunkt ist. Schreibe die Definition eines Fixpunkts von auf und rechne nach, welche Punkte nun Fixpunkte sind. Die Abbildung ist hier konkret vorgegeben und insofern beschränkt sich diese Aufgabe auf bloßes Ausrechnen.

Gruß,
Reksilat.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

also zu b) habe ich den Ansatz gefunden:

ß(x): Ax+t=x d.h. x*(A-E)=-t

und jetzt eben von der Matrix A die Einheitsmatrix abziehen und dann das LGS mit der erweiterten Spalte (-t) ausrechnen.

Falls das so stimmt, wie habe ich mir das vorzustellen? Es handelt sich ja bei der Abbildung beta um eine Drehung und um eine Translation, richtig? Wie kann es bei einer Translation fixxe Punkte geben?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Der Ansatz ist richtig. Fixpunkte kann es dabei natürlich geben. Beispiel:

(Drehung um 180°)

Dann wird der Punkt zuerst auf gedreht und dann um verschoben. Ergo: er landet wieder auf dem Ausgangspunkt.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

gut, dann habe ich das auch kapiert, vielen Dank, 2 Sachen noch:

1)die Abbildung hat keine fixen Punkte, stimmt das?

2) Hat man eigentlich wenn man Fixpunkte hat immer eine Fixpunktgerade bei Drehung bzw. Drehung mit Translation? Bei einer Punktspiegelung (falls es dafür eine Matrix gibt?) hätte ich ja nur einen fixen Punkt, aber wie sieht das dann mit oberen Sachen aus?

gruß
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

1)
Bei führst Du ja erst eine Drehung aus und verschiebst das ganze dann noch entlang der Drehachse. Dass man dabei keine Fixpunkte haben kann, lässt sich schon rein geometrisch sehr schön veranschaulichen.

2)
Wie Du ja oben schon bemerkt hast, sind die Fixpunkte dieser Bewegung (ebenso wie beim allgemeineren Begriff der affinen Abbildungen) gerade die Lösungen des LGS . Die Lösungsmenge lässt sich nun immer als darstellen, wobei eine beliebige Lösung dieses Systems ist, und der Unterraum aller Lösungen des homogenen Systems .
Im Fall der Drehung ist eben gerade die Drehachse, also eine Ursprungsgerade und die Fixpunkte der Bewegung sind dann eine dazu parallele Gerade durch .
Allerdings nur, wenn ein solches auch existiert. Wenn ist, gibt es eben auch keine Fixpunkte.

Gruß,
Reksilat.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Reksilat
1)
Bei führst Du ja erst eine Drehung aus und verschiebst das ganze dann noch entlang der Drehachse. Dass man dabei keine Fixpunkte haben kann, lässt sich schon rein geometrisch sehr schön veranschaulichen.



Dass du das so schnell gesehen hast, dass man hier um die Drehachse verschiebt ... Freude

Zitat:
Original von Reksilat

2)
Im Fall der Drehung ist eben gerade die Drehachse, also eine Ursprungsgerade und die Fixpunkte der Bewegung sind dann eine dazu parallele Gerade durch .
Allerdings nur, wenn ein solches auch existiert. Wenn ist, gibt es eben auch keine Fixpunkte.

Gruß,
Reksilat.


Also das mit dem Unterraum verstehe ich noch.
Aber bei diesem Teil haperts...

Du sagtest im Fall der Drehung sein U meine Drehachse, die durch den Urspung geht. Aber ist die Drehachse dann nicht viel mehr eine parallele zu der Ursprunggeraden, nur das diese Parallele dann eben auch noch durch x(0) geht?

Weil du schreibst ja, dass die Fixpunkte eine parallele Gerade sind durch x(0). Aber die Fixpunkte gibt es doch bei der Drehung nur auf der Drehachse...

Das verwirrt mich noch ein bissel...


Danke für deine Mühe Reksilat!
Gruß
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , die Menge der Fixpunkte unserer Drehung und somit die Drehachse von .
( ist also eine Gerade durch den Koordinatenursprung).

Die Menge der Fixpunkte Deiner Abbildung bildet eine zu parallele Gerade durch . Dabei kann man aber nicht mehr von Drehachse sprechen, da schließlich keine Drehung mehr ist.

Verständlicher? smile
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

tut mir leid für die verspätete Antwort, mein Internet ist im Schnee steckengeblieben...

Es ist verständlicher geworden...
ich fasse mal so zusammen:

Um Fixpunkte zu bestimmen: (A-E)*v=b

Bei einer einfachen Drehung handelt es sich um den Spezialfall: (A-E)*v=0. Hier handelt es sich um eine Gerade die durch den Ursprung geht. Mein x(0) ist hier also der Ursprung. x(0) ist also die spezielle Lösung der allgemeinen Lösung von (A-E)*v=b.

Zitat:
Im Fall der Drehung ist eben gerade die Drehachse, also eine Ursprungsgerade und die Fixpunkte der Bewegung sind dann eine dazu parallele Gerade durch .


a) Ich dachte bei (nur) einer einfach Drehung liegen die Fixpunkte gerade auf der Drehachse?
b) Aber nicht jede Drehung hat Fixpunkte, richtig?

c) Obiges Zitat ist wohl eher auf die Abbildung beta bezogen, wo die Fixpunkte dann durch einen Punkt x(0) gehen und parallel zur Drehachse liegen?

d) Wieso handelt es sich bei beta und gamma nicht um eine Drehung? Da habe ich ja meinen linearen Anteil A (orthogonale Matrix) und diese dreht ja. Anschließend verschiebe ich ja das ganze Teil noch. Somit ist ja auch eine Drehung enthalten?

e) Also der Ansatz für beta, um die Fixpunkte herauszubekommen ist schon: ? Wenn dem so wäre komme ich auf den Fixpunkt:
v= (7,5 -1,5 1,5) bzw. handelt es sich ja um einen Vektor



Viele Fragen, viel wirrwar bei mir...

Vielen Dank für deine Hilfe Reksilat...auch danke an den Rest
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Um Fixpunkte zu bestimmen: (A-E)*v=b

Weiß grad nicht, wo ich das b herhatte... - egal. Die Fixpunkte der Bewegung sind eben die Vektoren, die erfüllen, d.h. .
Wenn man das umstellt, ergibt das das (inhomogene) LGS .

Zitat:


Bei einer einfachen Drehung handelt es sich um den Spezialfall: (A-E)*v=0. Hier handelt es sich um eine Gerade die durch den Ursprung geht. Mein x(0) ist hier also der Ursprung. x(0) ist also die spezielle Lösung der allgemeinen Lösung von (A-E)*v=b.

Hier bringst Du etwas durcheinander. Als spezielle Lösung bezeichnet man eine konkrete Lösung des inhomogenen Systems , also einen Fixpunkt der ganzen Bewegung . Mein war eine solche spezielle Lösung.
Die Lösungsmenge des homogenen Systems hatte ich als bezeichnet - dies ist auch ein Unterraum von . Das sind dann die Fixpunkte der reinen Drehung , also genau die Drehachse.

Die allgemeine (bzw. vollständige) Lösung des LGS (welches ja gerade alle Fixpunkte von sind) ergibt sich nun als . (Siehe dazu zum Beispiel hier ab Seite 4.)

Zitat:
d) Wieso handelt es sich bei beta und gamma nicht um eine Drehung? Da habe ich ja meinen linearen Anteil A (orthogonale Matrix) und diese dreht ja. Anschließend verschiebe ich ja das ganze Teil noch. Somit ist ja auch eine Drehung enthalten?

Eine Drehung ist eine Drehung. Wenn ich das ganze danach noch verschiebe, habe ich keine Drehung mehr und dann wäre es irreführend, das ganze als Drehung zu bezeichnen. Es ist eben keine richtige Drehung mehr, man hat zwar eine Fixgerade, aber man dreht sich nicht um die Fixgerade, sondern macht eben was anderes.

Gruß,
Reksilat.
Physinetz Auf diesen Beitrag antworten »

denke ich habs geschnallt....nur was mich noch wundert:
eine Drehachse gibt es ja bei jeder Drehung, nur Fixpunkte gibt es nicht immer richtig?weil wenn es fixpunkte gibt, müsste ja die drehachse durch die "Figur" verlaufen, das ist ja nicht immer der Fall?

aber sonst alles klar, top Hilfe, vielen Dank Reksilat!! Tanzen
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Rein von der logischen Überlegung her ist doch klar, dass die Punkte auf der Drehachse festbleiben und alle anderen bewegt werden.
Egal, bin weg. smile

Tirili,
Reksilat.
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