Ähnliche Matrizen

03.01.2010, 14:35

9mb0

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Ähnliche Matrizen

Hallo,

ich soll eine Matrix A finden, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} C=A^{-1}BA \end{eqnarray*}$

ich kenne C und B, diese sind beide nxn-Matrizen, also steht da ja die Voraussetzung dafür, dass 2 Matrizen ähnlich sind.

Nur weiß ich leider nicht, wie mich das jetzt weiter bringt.

Hoffe ich krieg nen Tip Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG

9mb0

03.01.2010, 14:48

jester.

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Sind dir $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ denn nun konkret angegeben? Falls ja, dann zeig mal her. Falls nicht: Habt ihr schon die Jordan-Normalform behandelt?

Ach und allein die Tatsache, dass beide Matrizen $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen sind, reicht bei weitem nicht für die Ähnlichkeit aus. Sonst wären ja auch beispielsweise $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0 \\ 0&2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ähnlich, was sie jedoch sicher nicht sind.

03.01.2010, 15:00

9mb0

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$\begin{eqnarray*} C=A^{-1}BA \end{eqnarray*}$

wenn es A gibt und das dazugehörige $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ und die obige Bedingung gilt, dann sind doch C und B ähnlich, wenn sie nxn-Matrizen sind oder??

$\begin{eqnarray*} C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.01.2010, 15:09

jester.

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Na siehst du, so wird es doch direkt einfacher. Aber dass C und B $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen sind, ist sowieso klar, sonst wäre die angegebene Multiplikation doch gar nicht definiert.

Aber du hast Recht, es gilt: $\begin{eqnarray*} A\sim B :\Leftrightarrow \exists ~ C \in\operatorname{GL}_n (K):~ C^{-1}AC=B \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} A,B \in K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ .

Hier haben wir es jedoch recht einfach, da $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ in Diagonalgestalt ist. Wir müssen also nur eine Basis finden, bezüglich welcher $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ebenfalls Diagonalgestalt hat. Stimmen diese Matrizen überein, so sind B und C ähnlich.

Also: Bestimme eine Basis mit B in Diagonalgestalt.

PS: Hilfreich wäre noch die Angabe, über welchem Körper diese Matrizen betrachtet werden.

03.01.2010, 15:26

9mb0

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hm, vll ist der Titel meines Threads blöd gewählt.

Ich soll ja eine Matrix A finden so dass gilt

$\begin{eqnarray*} C=A^{-1}BA \end{eqnarray*}$

und C und B hab ich konkret gegeben.

Ich weiß nicht, vll hast du mich da falsch verstanden, bzw ich verstehe nicht recht was du mir sagen willst.

hm hoffe du kannst mir doch noch weiterhelfen, ich versteh's nämlich grad leider ned

edit: Körper ist R

03.01.2010, 15:30

jester.

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Du hast $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ in Diagonalgestalt, das sollte dir doch aufgefallen sein. Jetzt musst du eine Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} A^{-1}BA \end{eqnarray*}$ ebenfalls in Diagonalgestalt ist.

Ihr habt doch schonmal über Diagonalisierung gesprochen, oder? Falls nicht wird es ein bisschen schwierig...

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03.01.2010, 15:35

9mb0

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ja die Diagonalform(also nur auf der Diagonale Einträge ungleich 0)ist mir aufgefallen smile

smile

ich kann mich nicht daran erinnern das wir über Diagonalisierung gesprochen hätten und auch im Skript finde ich auf die Schnelle nichts davon...

03.01.2010, 15:42

jester.

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Ich schätze dann musst du mit "Gewalt" rangehen und das ganze als lineares Gleichungssystem lösen.

03.01.2010, 15:45

9mb0

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ach kacke...

das hab ich mir auch gedacht als ichs gesehen hab, aber dann dacht ich mir das kanns ja nicht sein weil das scho recht aufwendig ist und auf meinem blatt vermutlich auch nur 2 punkte gibt...

also du meinst schon eine allgemeine Matrix invertieren dann die 3 Matrizen auf der rechten seite multiplizieren usw oder?

hm naja ok trotzdem danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

MfG

04.01.2010, 12:06

kendo?

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ich hoffe ich darf mich so einfach einmischen ...

ich habe mich gerade daran versucht, das mit einem LGS zu lösen -
habe ich irgendetwas falsch gemacht, oder kann es sein, dass ich da ein System mit 18 Gleichungen und 18 Unbekannten bekomme?
Das wäre ja ends das Ungetüm ... schon lösbar, aber bisschen unmenschlich, oder?

wo liegt mein Fehler?

04.01.2010, 12:15

jester.

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18 sehe ich jetzt nicht. Es ist $\begin{eqnarray*} C=A^{-1}BA \Leftrightarrow AC=BA \Leftrightarrow AC-BA=0 \end{eqnarray*}$ .

Setze nun $\begin{eqnarray*} A:=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und berechne damit $\begin{eqnarray*} AC-BA \end{eqnarray*}$ .

Damit erhältst du dann ein LGS mit 9 Gleichungen und 9 Variablen.

Aber nochmal zu einem anderen Ansatz: Falls Basiswechsel und Eigenvektoren dir/euch geläufige Begriffe sind, könntet ihr mal einen Basiswechsel in eine Basis bestehend aus Eigenvektoren versuchen. Warum B bezüglich dieser Basis Diagonalgestalt hat, ist nicht übermäßig schwer einzusehen: Welche "Wirkung" hat die Matrix B auf ihre Eigenvektoren (etwas salopp formuliert)?

04.01.2010, 12:33

kendo?

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sag's wenn es dir zu blöd ist, aber leider habe ich wirklich scheinbar keine Ahnung von Tuten und Blasen, was das angeht. Ich kann's verstehen, wenn du sagst ich sollte mich besser erstmal intensiver mit dem Skript auseinandersetzen ... aber ich komm da nicht weiter - ich steck da ziemlich fest. Ich würde mich dementsprechend riesig freuen, wenn mir jemand die Hand reicht, um mich aus diesem Sumpf der Unwissenheit wenigstens ein bisschen herauszuziehen ... Aber wie gesagt, ich kann's verstehen, wenn es dir zu blöd ist dich mit jemandem herumzuplagen, bei dem es so grundlegend fehlt.

Nuja, genug geschwallt - leider sagen mir Basiswechsel und Eigenvektoren in diesem Zusammenhang nichts. Wie kann ich denn bei einer Matrix die Basis wechseln, bzw ... was ist die Basis einer Matrix?

Irgendwie klingt das jetzt wirklich sehr dumm, aber ich kenne den Begriff Basis bloß im Zusammenhang mit Vektorräumen ...

Leider sehe ich auch nicht so ohne weiteres warum es reicht B in Diagonalform zu bringen. Sind denn alle nxn-Matrizen in Diagonalform mit gleichem n ähnlich?

04.01.2010, 12:42

jester.

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Also wenn der Basiswechsel noch nicht bekannt ist, dann vergiss das, das ginge zu weit. Falls er schon vorkam, ist das jedoch die Gelegenheit sich aufzuraffen, das zu lernen und in die Praxis umzusetzen.

Ansonsten wartet das $\begin{eqnarray*} 9\times 9 \end{eqnarray*}$ -Gleichungssystem (ungemütlich, aber machbar).

04.01.2010, 14:03

9mb0

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hm, wenn ich 2 3x3-Matrizen miteinander multipliziere, krieg ich doch wieder eine 3x3-Matrix, und wenn ich zwei 3x3-Matrizen voneinander abziehe ist es doch immer noch eine 3x3-Matrix oder? bzw was mach ich falsch?

04.01.2010, 14:07

jester.

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Zitat:

Original von 9mb0
hm, wenn ich 2 3x3-Matrizen miteinander multipliziere, krieg ich doch wieder eine 3x3-Matrix, und wenn ich zwei 3x3-Matrizen voneinander abziehe ist es doch immer noch eine 3x3-Matrix oder? bzw was mach ich falsch?

Ja... Hä? Verstehe deine Frage nicht, ich hoffe du machst nichts falsch... Big Laugh

Big Laugh

04.01.2010, 14:12

9mb0

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hoff ich natürlich auch^^

hätte dann von meinem LGS in der ersten Zeile folgendes stehen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a_{11}-a_{12}-a_{13} & -a_{12}-a_{11}-a_{13} & a_{13}-a_{11}-a_{12} \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und in den weiteren Zeilen ähnliche Sachen, wie mach ich jetzt weiter und wo ist mein 9x9 lgs^^

mfg

04.01.2010, 14:22

jester.

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Puuh, Tipparbeit...

Also ich hatte mir das so vorgestellt: $\begin{eqnarray*} AC-BA=\begin{pmatrix} 2a_{11}-a_{21}-a_{31} & -a_{12}-a_{22}-a_{32} & -a_{13}-a_{23}-a_{33} \\ 2a_{21}-a_{11}-a_{31} & -a_{12}-a_{22}-a_{32} & -a_{13}-a_{23}-a_{33} \\ 2a_{31}-a_{11}-a_{21} & -a_{12}-a_{22}-a_{32} & -a_{13}-a_{23}-a_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also betrachten wir nun $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a_{11}-a_{21}-a_{31} & -a_{12}-a_{22}-a_{32} & -a_{13}-a_{23}-a_{33} \\ 2a_{21}-a_{11}-a_{31} & -a_{12}-a_{22}-a_{32} & -a_{13}-a_{23}-a_{33} \\ 2a_{31}-a_{11}-a_{21} & -a_{12}-a_{22}-a_{32} & -a_{13}-a_{23}-a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Nun sind zwei Matrizen genau dann gleich, wenn sie in allen Einträgen übereinstimmen. Das heißt, die 9 Einträge dieser Matrizen liefern dir ein $\begin{eqnarray*} 9\times 9 \end{eqnarray*}$ -Gleichungssystem, wobei da natürlich einiges mehrfach vorkommt und somit wegfällt.

04.01.2010, 14:43

9mb0

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2a_{11} & -a_{21} & -a_{31} \\ 2a_{21} & -a_{11} & -a_{31} \\ 2a_{31} & -a_{11} & -a_{21} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nacheinander die Gleichungssysteme zu lösen wäre falsch nehm ich an und würde auch keinen Sinn machen, da außer in diesem, dann ja immer das gleiche in den Zeilen da steht, hm sorry aber weiß leider trotz deiner Bemühungen nicht wie ich's machen soll...

04.01.2010, 18:13

kendo?

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puh, das war ein Stück harte Arbeit.
aber tatsächlich, es funktioniert ...

man erhält 9 Gleichungen (alle = 0) unter denen allerdings 2 Gleichungen je 3mal auftauchen. Man sieht dann, dass 3 der verbleibenden 5 Gleichungen ein homogenes LGS (3x3) ergeben, während die anderen beiden je (mit ebenfalls jeweils 3 Variablen) nur von sich selbst abhängen.

Das heißt, 3 unserer gesuchten 9 Variablen bekommen wir durchs Lösen unseres LGS, die restlichen 6 bekommen wir aus den "freien" Gleichungen - was bedeutet bei den Variablen aus den "freien" Gleichungen müssen wir nur achtgeben, dass wir sie im Verhältnis zueinander so wählen, dass die einzelnen Gleichungen erfüllt sind.
(Bei mir war das zB: a22 = a12*(-2) = a13*(-2) )

Nun lösen wir noch das LGS, finden heraus, dass es auch hierbei unendlich viele Lösungen gibt, suchen uns eine möglichst einfache Lösung heraus und füllen diese für die Variablen in unserer gesuchten Matrix ein. Nun ersetzen wir noch die restlichen 6 variablen mit einfachen Werten, die die "freien" Gleichungen erfüllen (s. oben). Und voilà, fertig ist unsere Matrix.

Diese können wir nun invertieren und dann die Rechenprobe machen ... und das sollte dann funktionieren ... wenn man sich nicht verrechnet hat, was mir leider des öfteren passiert ist ...

Gern würde ich meine Wert/Matrix posten, aber leider, wie man gesehen hat, bin ich mit Latex oder sonstigen Tools nicht im Geringsten vertraut ... tut mir leid

04.01.2010, 23:53

Manus

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Zitat:

Original von kendo?
puh, das war ein Stück harte Arbeit.

Und genau das ist der Grund, warum man es im Allgemeinen, wenn man den theoretischen Unterbau hat, niemals so macht, sondern da mit bedeutend effizienteren Mitteln (hat Jester ja bereits erwähnt) drangeht.

05.08.2010, 16:31

liliteeps

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kann man die sache mit der Diagonalsgestalt der Matrix B bzgl einer Basis vllt nochmal aufgreifen und ausführen=)?

05.08.2010, 16:40

Iorek

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Du fasst die Matrix B als Abbildungsmatrix eines Endomorphismus auf, und bestimmst eine geeignete Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal B \end{eqnarray*}$ , sodass die Abbildungsmatrix des Endomorphismus bzgl. dieser Basis eine Diagonalmatrix ist (dass so eine Basis existiert ist klar, da B sym. ist).

05.08.2010, 17:49

liliteeps

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ok..

und zum verständnis: diese diagonalmatrix enthält dann die eigenwerte der matrix b, und die Basis bzgl. der B diagonalgestalt hat sind dann doch wohl die eigenvektoren der Matrix B bzgl der jeweiligen eigenwerte`?=)

falls ja,schließt sich mein verständniskreis so langsam

05.08.2010, 17:52

Iorek

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Ja.

05.08.2010, 17:52

liliteeps

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sehr fein,vielen dank=) Tanzen

Tanzen

05.08.2010, 17:54

Iorek

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Vgl. dazu vllt. auch diesen Wikipedia-Artikel.

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