Rechnung Modulo

03.01.2010, 19:16	margreta	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnung Modulo die letzten drei dezimalstellen der zahl 5^29 sollen berechnet werden - kann mir jemand sagen wie ich hier ansetzen kann? danke!
03.01.2010, 19:26	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu berechnen ist $\begin{eqnarray} 5^{29} \bmod 1000 \end{eqnarray}$ . Unter Nutzung der Primfaktorzerlegung $\begin{eqnarray} 1000 = 2^3 \cdot 5^3 \end{eqnarray}$ kann man zunächst $\begin{eqnarray} 5^{29} \bmod 5^3 \end{eqnarray}$ (trivial) sowie $\begin{eqnarray} 5^{29} \bmod 2^3 \end{eqnarray}$ (auch nicht viel schwerer) berechnen und beides dann über den chinesischen Restsatz zum Endergebnis kombinieren. Alternativ kannst du dir auch mal die ersten paar Werte $\begin{eqnarray} 5^k \bmod 1000 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=0,1,2,\ldots \end{eqnarray}$ anschauen, bis du auf eine Gesetzmäßigkeit stößt und die auch begründen kannst.
03.01.2010, 19:37	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und bei der Berechnung von $\begin{eqnarray} 5^{29} \mod 8 \end{eqnarray}$ könnte noch die Beziehung $\begin{eqnarray} 5^2 \equiv 1 \mod 8 \end{eqnarray}$ von Nutzen sein...
03.01.2010, 23:02	Margretaa	Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnung Modulo Hi! Wieso muss ich für die Berechnung der letzten drei Dezimalstellen der Zahl 8^29 mod 1000 verwenden? Könnte es nicht auch mod 100 oder 10 sein? Und wenn ich über die Primfaktorzerlegung dann zwei Gleichungen habe, 8^29 mod 2^3 und 8^29 mod 5^3, wie bekomme ich dann konkret die Lösung der letzten Dezimalstellen?
03.01.2010, 23:13	jester.	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum du dich jetzt neu angemeldet hast, weißt wohl nur du allein, aber sei's drum. Überlege dir, wie eine Zahl im Dezimalsystem aussieht: Beispielsweise $\begin{eqnarray} 25=5\cdot 10^0 + 2\cdot 10^1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 123=3\cdot 10^0 + 2\cdot 10^1 + 1\cdot 10^2 \end{eqnarray}$ . Allgemein also $\begin{eqnarray} x=\sum_{i=0}^n a_i 10^i \end{eqnarray}$ mit passenden $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ . Dafür gilt dann $\begin{eqnarray} a_0 + \underbrace{\sum_{i=1}^n a_i 10^i}_{\equiv 0 \mod 10} \equiv a_0 \mod 10 \end{eqnarray}$ . Beim Rechnen mod 10 erhält man also die letzte Stelle, mod 100 die zwei letzten und mod 1000 die letzten drei wegen $\begin{eqnarray} \sum_{i=0}^2 a_i 10^i + \underbrace{\sum_{i=3}^n a_i 10^i}_{=a_3\cdot 1000 + a_4\cdot 10000 + ... \equiv 0 \mod 1000} \equiv \sum_{i=0}^2 a_i 10^i \mod 1000 \end{eqnarray}$ .
03.01.2010, 23:17	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Themen zusammengefügt. Nächtes mal bitte im ursprünglichen Thema weiterposten
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