Monoid und Translation

04.01.2010, 08:56	Fünkchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Monoid und Translation Ihr kennt doch sicherlich die Aufgabe aus Bosch wo man folgendes zeigen muss: wenn Linkstranslation und Rechtstranslation injektiv sind und das Monoid endlich ist, dann handelt es sich um eine Gruppe. Zuerst wusste ich nicht, wie ich rangehen soll, aber wenn die auch surjektiv sind: Mit $\begin{eqnarray} l_a(x)=ax \end{eqnarray}$ gibt es auch $\begin{eqnarray} (l_a)'(x)=a'x \end{eqnarray}$ so dass $\begin{eqnarray} (l_a)'\circ (l_a)=\mathrm{id} \end{eqnarray}$ . Existieren nun a und x , so existieren $\begin{eqnarray} (l_a)'(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (r_x)'(g) \end{eqnarray}$ wobei g existieren muss. Damit gibt es auch $\begin{eqnarray} (r_x)'\circ (l_a)'(x) = (a'x)x' = a' \end{eqnarray}$ Dann hab ich bemerkt dass a und x fest sind. Und x ist ja beliebig. Damit gibt es kürzer: $\begin{eqnarray} (l_a)'(e) = a' \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? Das würde bedeuten, dass die Bijektivität einer der Translationen ausreicht.
04.01.2010, 10:33	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll dieses Strich Inverse bedeuten? Falls ja: Das darfst du nicht annehmen dass es das gibt... Selbst wenn du die Elemente irgendwie definierst ist der Beweis noch reichlich unklar. Zeige zunächst: Es gibt sowohl Rechts als auch Linksinverse. Dann zeige dass diese gleich sind. Naja anyway: Auf endlichen Mengen gilt: injektiv <=> bijektiv <=> surjektiv
04.01.2010, 11:30	Fünkchen	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, war irgendwie ein wenig wuschig, so besser?: Es existiere a. Das Monoid M ist endlich und $\begin{eqnarray} l_a \end{eqnarray}$ wegen injektiv auch bijektiv. Es gibt auch die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} (l_a)' \end{eqnarray}$ und der Funktionswert des neutralen Elements, das zwingend mit dabei ist, sei $\begin{eqnarray} (l_a)'(e)=b \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} e=l_a(b)=ab \end{eqnarray}$ . Das heißt b ist rechtsinvers zu a und M bereits eine Gruppe.
04.01.2010, 13:14	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, wenn du bereits weißt dass ein Rechtsinverses existiert reicht das. Das "Es existiere a" ist aber immer noch etwas komisch. Besser ist etwas wie: "Sei a beliebig aber fest" oder sowas

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