zyklische Galois-Erweiterung

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thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »
zyklische Galois-Erweiterung
Hi,

ich versuche mich momentan an einer Aufgabe aus dem Algebra-Buch von Siegfried Bosch. Sie lautet:

"Sei ein Teilkörper von , so dass eine zyklische Galois-Erweiterung vom Grad 4 ist.
Man zeige: besitzt genau einen echten Zwischenkörper und dieser ist in enthalten."


Die Galois-Gruppe muss die Gruppe sein, da dies die einzige zyklische Gruppe der Ordnung 4 ist. Da als einzige echte Untergruppe die besitzt, gibt es nach dem Hauptsatz der Galois-Theorie auch nur einen echten Zwischenkörper von . Daraus folgt schon mal der eine Teil der Behauptung. Nun aber zum schwierigeren Teil: "Der Zwischenkörper ist eine Teilmenge von ." Ich könnte das Gegenteil annehmen, nämlich, dass nicht in enthalten ist.

Nun meine Frage: Reicht es zu zeigen, dass oder ist das zu wenig?

Wenn es ausreicht, zu zeigen, dass nicht in ist, dann meine Frage: Warum reicht es aus?

Danke,

Ciao,
Thorsten
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: zyklische Galois-Erweiterung
Hallo Thorsten,

Zu zeigen, dass ist, reicht nicht, da ja zum Beispiel auch eine nichtreelle Erweiterung vom Grad 2 ist, die nicht enthält.

Nimm an, dass Du zwei komplexe Nullstellen und hast. Was sind denn dann und ? Was kann man mit diesen Elementen schönes konstruieren? Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
 
 
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Reksilat,

danke für deine Antwort.
Also wenn ich das richtig verstehe, dann ist in der algebraischen Körpererweiterung zwar das Element enthalten, aber nicht die Elemente und . Ich hab anfangs fälschlicherweise angenommen, dass jeder Körper, der enthält, automatisch auch und enthalte müsse, aber das ist falsch.

Gut. Ich nehme nun an, dass ich zwei komplexe Nullstellen und habe. Dann ist und .

Die komplexe Konjugation ist ein Automorphismus (auf , aber auch eingeschränkt auf ) und hat Ordnung 2, genauso wie der einzige Zwischenkörper, den es gibt. Also kann ich doch sagen, dass die komplexe Konjugation ein Element der Galois-Gruppe der Erweiterung ist?! Muss ich dann den Fixköper betrachten?

Viele Grüße,
Thorsten
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Als Fixkörper der komplexen Konjugation kann man das auch beschreiben, worauf ich hinauswollte. Welches sind denn gerade die Elemente, die unter Konjugation festbleiben? Augenzwinkern
thorsten_s. Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, das sind gerade die reellen Elemente, also alle Elemente mit . Daraus folgt dann die Behauptung.
War ja gar nicht so schwer. Danke nochmals für die Hilfe.
Wink
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