Vollständiger metrischer Raum

04.01.2010, 16:24	Hotte3012	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständiger metrischer Raum Hi. Ich versuche, folgende Aufgabe zu beantworten, weiß aber nicht, wie ich vorzugehen habe: Sei (X,d) ein vollständiger metrischer Raum und $\begin{eqnarray} A \subset X \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass (A,d) genau dann vollständig ist, wenn A in (X,d) abgeschlossen ist. Für die Vollständigkeit eines metrischen Raums weiß ich, dass jede Cauchy-Folge in (X,d) und damit auch in (A,d) konvergent sein muss. Abgeschlossenheit für A in (X,d) gilt, wenn für ein $\begin{eqnarray} A^{c} = X/A \end{eqnarray}$ und für alles $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ ein epsilon > 0 existiert mit $\begin{eqnarray} U_{epsilon) \subset A \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} U_{epsilon}(x) := {x \in X: d(x,x) < epsilon} \end{eqnarray}$ . Oder muss ich erstmal zeigen, dass (A,d) Unterraum von (X,d) ist? Bitte um Hilfe. Danke schonmal.
04.01.2010, 16:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgendes könnte hilfreich sein: A abgeschlossen <==> Jede konvergente Folge mit Folgengliedern in A konvergiert auch in A
04.01.2010, 16:45	Hotte3012	Auf diesen Beitrag antworten »
Wäre das dann äquivalent zur Vollständigkeit, zu der ja jede Cauchy-Folge konvergent in (A,d) sein muss?
04.01.2010, 17:39	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist das äquivalent zur Vollständigkeit. Das sagt ja schon die Aufgabe. Du musst es aber zeigen.
04.01.2010, 20:37	Hotte3012	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ Cauchy-Folge in A, so existiert eine konvergente Teilfolge $\begin{eqnarray} a_{n_{k}} \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ , deren Grenzwert c der gleiche der Ursprungsfolge ist. $\begin{eqnarray} \forall epsilon > 0 \exists N \in \end{eqnarray}$ IN, sodass gilt: $\begin{eqnarray} d(a_{n},c) \leq d(a_{n},a_{n_{k}}) + d(a_{n},c) < \frac{epsilon}{2} + \frac{epsilon}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n,k \geq N \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ A abgeschlossen in (X,d)
04.01.2010, 20:45	Hotte3012	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist wohl grundlegend für die Aufgabe. Nur wie geh ich weiter vor?
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