Kovergenz einer logistischen Rekursiongleichung

04.01.2010, 16:34	Chrissxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergenz einer logistischen Rekursiongleichung Hallo, ich stehe gerade ziemlich ahnungslos vor dieser Aufgabe. Wir betrachten die logistische (Rekursions-)Gleichung $\begin{eqnarray} x_{n+1}= x_{n}\left(\alpha - x_{n} \right) \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha \in \left(1;2\right] \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{0} \in \left(0;\alpha - 1\right) \end{eqnarray}$ . Untersuchen Sie die Folge $\begin{eqnarray} \left(x_{n} \right) _{n\in \mathbb N _{0} } \end{eqnarray}$ auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert. Meine eigenen Ideen dazu halten sich sehr in Grenzen. Ich hab mir gedacht, man könnte die einzelnen Teilfolgen für gewisse $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ betrachten, aber das bringt mir irgendwie auch keine Erleuchtung, zudem das mit den Intervallen dann ziemlich wirr wird Hat da vielleicht jemand einen kleinen besseren Denkanstoß für mich? Grüße, Chrissxxx
04.01.2010, 17:35	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ja $\begin{eqnarray} x_{n+1}=f(x_n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x)=x(\alpha-x) \end{eqnarray}$ . Es ist $\begin{eqnarray} f(\alpha -1)=\alpha-1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x) < f(\frac{\alpha}{2}) = \frac{\alpha^2}{4} \leq \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \neq \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ Daraus folgt sofort $\begin{eqnarray} 0 < x_n < \frac{\alpha}{2} \end{eqnarray}$ , also dass die Folge beschränkt ist. Das ist doch schonmal Anfang. Zu zeigen wäre noch die Monotonie. Ist auch nicht mehr schwer Schau dir dazu mal die Monotonieeigenschaften von f an.
04.01.2010, 21:39	Chrissxxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau sowas hat mir gefehlt. Das ist ja gar nicht schwer. Wie so oft ist es mal wieder einfach nur der Blickwinkel, aus dem man die ganze Sache betrachten muss Vielen Dank!

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