Untervektorraum nachweisen! |
| 04.01.2010, 18:04 | Legi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Untervektorraum nachweisen! x1 = 0 x2 >= 0 (in Worten: x2 größer oder gleich Null) i) Der Nullvektor muss enthalten sein x1 ist ohnehin Null und x2 lässt sich gemäß obiger Definition ebenfalls 0 setzen! ii) x,y € V --> x+y € V x1 ist ohnehin Null, also beschränke ich mich bei meinen Betrachtungen auf x2 (ist das zulässig?). x2 >= 0 und y2 >= 0 --> x2 + y2 >= 0 0 + 0 >= 0 iii) x € V, » € K --> »x € V »*0 >= 0 Jetzt habe ich das Ganze zwar nachgewiesen, kann mir aber nicht ganz vorstellen, dass es auch stimmt ^^ Irgendwo hab ich noch eine Lücke in meinem Verständnis von Untervektorräumen. lg |
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| 04.01.2010, 18:13 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Edit: Kommando zurück. Denk noch mal über den letzten Punkt nach. |
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| 04.01.2010, 19:22 | Legi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich sehe den Fehler leider nicht. Was ich sehe ist, dass sich die Bedingung x2 >= 0 nur für den Nullvektor erfüllen lässt. Den für jeden anderen Vektor fehlt mir das inverse Element. Ich bitte natürlich darum korrigiert zu werden, falls ich falsch liege. Und irgendwie hab ich so das Gefühl falsch zu liegen. |
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| 04.01.2010, 20:17 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mh? Wir betrachten die Menge Zu prüfen ist, ob M ein UVR des R^2 ist. Es gilt , aber auch . Es gibt viele Vektoren, die in M liegen. Die Nichtexistenz inverser Elemente zeigt dir schon, dass das Untervektorraum sein kann. Und auch die letzte Bedingung geht schief: Wenn x in M liegt, dann liegt -x zum Beispiel nicht im M. Daraus folgt ebenso, dass M kein UVR ist. |
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| 05.01.2010, 16:20 | Legi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Somit müsste es doch genügen, wenn ich anhand eines Beispiels zeige, dass das inverse Element nicht in der Menge enthalten ist oder? Damit ist die Menge ja auch keine abelsche Gruppe, womit sie ohnehin kein Vektorraum sein kann. Allerdings ist mir eine Sache noch immer schleierhaft. Wie kann ich mit Hilfe der 3 Bedingungen (also inverses Element, Abgeschlossenheit bezüglich der Vektoraddition und Abgeschlossenheit bezüglich der skalaren Multiplikation) für einen Vektorraum zeigen, dass in diesem Fall kein Unterraum vorliegt? Oder sind die 3 Bedingungen in meinem Fall nicht ausreichend? lg |
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| 05.01.2010, 19:22 | Cel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deine 3 Bedingungen sind ausreichend. Du kannst zeigen, dass eine Menge genau dann einen UVR bildet, wenn diese Sachen gelten. Du zeigst, dass es keine Inversen gibt. Das habe ich aber auch gemacht. Wenn u in M liegt, dann auch -u. Hier ist das aber nicht der Fall. Wenn es Inverse gibt, dann gilt eben u in M und -u in M. Zeigt man also, dass sowohl Vielfache als auch Summen von Vektoren in M liegen, hat man die Existenz der Inversen gleich dabei. |
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| 06.01.2010, 21:43 | Legi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Am Verständnis scheitert es bei mir nicht wirklich. Mir ist klar, dass die inversen Vektoren nicht in der Menge liegen und es daher kein Untervektorraum sein kann. Nur wie schreibe ich das mathematisch korrekt auf? Kannst du mir da vielleicht etwas behilflich sein. Bed. ii) besagt ja, dass aus u,v € V folgt, dass auch u+v € V sein muss. Und wie kann ich jetzt mit dieser Bedingung zeigen, dass die Inversen nicht in der Menge liegen? 
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| 06.01.2010, 21:45 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann nimm Bedingung iii) -1 € R, v € M, aber -1*v ist nicht in M, falls v nicht gerade der 0-Vektor ist. |
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