Polynom-Koeffizienten bestimmen

04.01.2010, 20:00

Christoph82

Polynom-Koeffizienten bestimmen

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe(n):

$\begin{eqnarray*} \text{(a) Bestimmen Sie zum Polynom }F=X^5-3X^4-2X^3+5X^2-X+2 \in \mathbb{R}[X] \text{die Werte }F(x) \text{ für } -2, -1, 1 \text{ und } 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ und die Koeffizienten der Polynome } H \in \mathbb{R}[X] \text{ mit } F=H \cdot (X-x) + F(x) \text{ mit Hilfe des Hornerschemas.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{(b) Entwickeln Sie } F \text{ nach den Potenzen von } (X-1) \text{, d.h. bestimmen Sie die Koeffizienten } b_k\in\mathbb{R}, k \in \mathbb{N}\text{,} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{für die Darstellung } F=\sum_{k \in \mathbb{N}}^{ }b_k(X-1)^k \end{eqnarray*}$

Zu (a) habe ich dann das Hornerschema aufgestellt und ausgerechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{l|rrrrrr}&1&-3&-2&5&-1&2 \hline x=-2&&-2&10&-16&22&-42 &1&-5&8&-11&21&-40 \hline\hline x=-1&&-1&4&-2&-3&4 &1&-4&2&3&-4&6 \hline\hline x=1&&1&-2&-4&1&0 &1&-2&-4&1&0&2 \hline\hline x=2&&2&-2&-8&-6&-14 &1&-1&-4&-3&-7&-12 \hline\hline\end{array} \end{eqnarray*}$

Und da bin ich mit meinem Latein am Ende. Ich suche schon seit Stunden nach einem Ansatz. Wäre nett wenn mir jemand ein paar Tipps zuwerfen könnte oder ein paar Links wo ich mich schlau machen kann.

Gruß,
Christoph

04.01.2010, 20:23

wisili

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RE: Polynom-Koeffizienten bestimmen

Zitat:

Original von Christoph82
$\begin{eqnarray*} -2, -1, 1 \text{ und } 2 \end{eqnarray*}$

Ist das so zu deuten: x = -2, dann x = -1, dann x = 1 und zuletzt x = 2?
Dann verstünde ich die nächste Zeile auch besser:
H ist 4 mal zu bestimmen indem im Divisor (X-x) für das x konkret eingesetzt wird:
x = -2, dann x = -1, dann x = 1 und zuletzt x = 2.

04.01.2010, 20:40

wisili

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RE: Polynom-Koeffizienten bestimmen
a)
Deine Horner-Tabelle stimmt.
Aus der letzten Zeile kann man lesen:
H(x) = x^4 - x^3 - 4x^2 - 3x - 7 und F(2) = -12

b)
Rechne H(w+1) aus und ersetze am Schluss w durch x-1.
Wahrscheinlich geht das aber auch irgendwie nach Horner.
Es wird b0=2, b1=-4, b2=-9, b3=-4, b4=2, b5=1.

06.01.2010, 11:32

Christoph82

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Hallo Wisili,

das mit den Koeffizienten kann ich nachvollziehen. Ich habe da jetzt:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{lcl}x=-2 & \Rightarrow & F=(X^4-5X^3+8X^2-11X+21)\cdot(X+2)-40 x=-1 & \Rightarrow & F=(X^4-4X^3+2X^2+3X-4)\cdot(X+1)+6 x=1 & \Rightarrow & F=(X^4-2X^3-4X^2+X)\cdot(X-1)+2 x=2 & \Rightarrow & F=(X^4-X^3-4X^2-3X-7)\cdot(X-2)-12 \end{array} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Jetzt habe ich für (b) H(w+1) bei dem Koeffizienten für x=2 eingesetzt und danach wieder (X-1) für w:

$\begin{eqnarray*} \begin{array}{cl}&X^4-X^3-4X^2-3X-7 =&w^4+3w^3-w^2-10w-14 =&X^4-X^3-4X^2-3X-7 \end{array} \end{eqnarray*}$

So bin ich ja wieder beim Koeffizienten. Ich kann deine Lösung nicht ganz nachvollziehen Erstaunt2

Vielen Dank für Deine Hilfe.

Gruß,
Christoph

06.01.2010, 11:40

wisili

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Alles richtig, nur die letzten Rechnungen waren überflüssig: Nachdem du für w die
Klammer (X-1) eingesetzt hast, bist du fertig. Die Klammern dürfen nicht gelöst werden!

Nein, einen Fehler gibt es noch bei b):
Du hast mit dem falschen Polynom begonnen: Du musst das originale F nehmen.
Aber eigentlich liegt der Fehler bei mir. Sorry!
Ich habe oben von H(w+1) gesprochen, statt von F(w+1) (Tippfehler). Tut mir leid.

06.01.2010, 12:05

Christoph82

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Alles klar, so klappt das. Vielen Dank für Deine Hilfe.

Gruß,
Christoph

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