Grenzfunktion einer Funktionenfolge bestimmen

04.01.2010, 20:32	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzfunktion einer Funktionenfolge bestimmen Hallöchen!! Ich habe ein Problem damit, die Grenzfunktion einer Funktionenfolge zu bestimmen. Ich schreib dazu erst mal, was gegeben ist (bzw. die ganze Aufgabe, da die nämlich nach der Grenzfunktion noch weiter geht und ich befürchte, da wieder vor Problemen zu stehen, aber eins nach dem anderen...) und was mir schon eingefallen ist: Die Funktionenfolge $\begin{eqnarray} f_n:\mathbb R ->\mathbb R \end{eqnarray}$ sei definiert durch $\begin{eqnarray} f_n(x)= \frac{n^2x}{1+ n^2x^4} \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} f(x)= \lim_{n \to \infty } f_n(x), x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ und geben Sie größtmögliche Intervalle an, in denen $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ gleichmäßig gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert. So, nun scheitere ich ja wie gesagt bereits an der Grenzfunktion. Wenn ich in den Limes $\begin{eqnarray} f_n \end{eqnarray}$ einsetze, kommt ja erst mal $\begin{eqnarray} f(x)= \lim_{n \to \infty } \frac{n^2x}{1+n^2x^4} \end{eqnarray}$ dabei raus. Wenn ich jetzt das n gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ laufen lasse, komme ich nicht weiter, als zu diesem hier: $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{\infty x}{1+\infty x^4} \end{eqnarray}$ was man natürlich nicht schreiben darf. Jetzt habe ich hier im Forum ein wenig gelesen und herausgefunden, dass, wenn die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ ist, ich die gleichmäßige Konvergenz ganz einfach ausrechnen kann. Ich befürchte nur, dass ich das hier nicht einfach sagen kann, bzw. dass das falsch wäre. Auf jeden Fall müsste ich $\begin{eqnarray} f(x)=0 \end{eqnarray}$ ja noch begründen. Eine andere Überlegung von mir war, dass $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{x}{1+x^4} \end{eqnarray}$ sein könnte, womit ich dann ja auch in der Formel für die gleichmäßige Konvergenz ein f(x) hätte, dass ich einsetzen kann und womit ich rechnen kann. Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich das " $\begin{eqnarray} n-> \infty \end{eqnarray}$ " einfach weglassen darf. Klar ist mir, dass die Grenzfunktion aber auf jeden Fall von n unabhängig ist, dafür lassen wir n ja im Limes laufen. Also, wahrscheinlich ist es wieder mal ganz einfach, nur mir fällt dank meiner Verpeiltheit die Lösung nicht auf. Bitte heltft mir, denn ohne die Grenzfunktion komme ich ja nun mal gar nicht mehr weiter... Vielen Dank schon mal, die anni
04.01.2010, 20:52	Gast 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzfunktion einer Funktionenfolge bestimmen Um zur Grenzfunktion zu gelangen bedarf es nur einer simplen Umformung: [latex]\frac{n^2x}{1+n^2x^4}=\frac x{\frac 1{n^2}+x^4}. Die Grenzfunktion ist offensichtlich in genau einem Punkt unstetig. Da aber glm. konv. Folgen stetiger Funktionen immer eine stetige Grenzfunktion haben, kann dieser Punkt also in keinem der zu bestimmenden Intervalle liegen.
04.01.2010, 20:57	Gast 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grenzfunktion einer Funktionenfolge bestimmen [Sorry - hatte statt 'Vorschau' auf 'Antwort erstellen' geklickt.] Um zur Grenzfunktion zu gelangen, bedarf es nur einer simplen Umformung: $\begin{eqnarray} \frac{n^2x}{1+n^2x^4}=\frac x{\frac 1{n^2}+x^4}. \end{eqnarray}$ Die nun offensichtliche Grenzfunktion ist in genau einem Punkt unstetig. Da aber glm. konv. Folgen stetiger Funktionen immer eine stetige Grenzfunktion haben, kann dieser Punkt also in keinem der zu bestimmenden Intervalle liegen.
04.01.2010, 21:12	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Idee, $\begin{eqnarray} n^2 \end{eqnarray}$ aus zu klammern, bin ich schon gekommen, dachte aber direkt, das bringt mich nicht weiter und hab es (leider) sofort wieder verworfen. Deshalb schon mal Danke! Ich frage jetzt weiter, ob meine neuen Überlegungen richtig sind, ich hab da grad ein gutes Gefühl, nur bin ich noch dabei, überhaupt ein Gefühl dafür zu entwickeln, ob meine Lösungen stimmen oder nicht. Deshalb geht es weiter: Ich komme dann ja auf: $\begin{eqnarray} f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2x}{1+n^2x^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{x}{\frac{1}{n^2}+x^4 } = \frac{x}{x^4} = \frac{1}{x^3} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ an der Stelle x=0 nicht definiert ist, ist f(x) hier unstetig. Meine zu untersuchenden Intervalle sind dann also $\begin{eqnarray} \left(-\infty ,0\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(0 , \infty\right) \end{eqnarray}$ . Diese sind offen, da $\begin{eqnarray} \pm \infty \end{eqnarray}$ nicht zu $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gehören und die Funktion für x=0 ja nun mal nicht stetig ist. Stimmt das so??
04.01.2010, 21:51	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt habe ich die Intervalle auch schon betrachtet (ich freu mich, dass das mal ausnahmsweise richtig flott ging!): $\begin{eqnarray} I_1 = \left(-\infty ,0\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} I_2=\left(0,\infty \right) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} I_1 \end{eqnarray}$ habe ich: $\begin{eqnarray} \sup_{x \in I_1} \left\{ \| f_n(x)-f(x) \| \right\} =\sup_{x \in I_1} \left\{ \| \frac{n^2x}{1+n^2x^4}-\frac{1}{x^3} \| \right\} = \sup_{x \in I_1} \left\{ \| -\frac{1}{x^3+n^2x^7} \| \right\} \end{eqnarray}$ Nun kommt wieder ein Teil, bei dem ich mir nicht sicher bin. Und zwar habe ich zunächst immer das n als fest gewählt betrachtet und x gegen minus unendlich und gegen 0 laufen lassen, um mir ein Supremum überlegen zu können. Läuft n auch gegen unendlich, geht der Term beiden Fällen gegen 0, was ich schon mal ganz gut finde. Und wenn x sich 0 annähert, wird der Term auch maximal. Demnach ist dann 0 doch das Supremum, also $\begin{eqnarray} \sup_{x \in I_1} \left\{ \| -\frac{1}{x^3+n^2x^7} \| \right\} =0 (n->\infty) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} I_2 \end{eqnarray}$ überlegt man sich analog, dass $\begin{eqnarray} \sup_{x \in I_2} \left\{ \| -\frac{1}{x^3+n^2x^7} \| \right\} =0 (n->\infty) \end{eqnarray}$ gilt. Kann man das denn so schreiben oder müsste man da noch was ergänzen??? Und ist das auch wirklich so richtig?? Im Nachhinein sieht das hier sogar, im Gegensatz zu meinen schmierigen Überlegungen auf Papier, schon richtig gut aus... oder meine ich das nur???
04.01.2010, 22:30	Gast 0815	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Das stimmt nicht so ganz, denn da $\begin{eqnarray} f_n(0)=0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , folgt: $\begin{eqnarray} f(0)=0. \end{eqnarray}$ Somit ist die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle 0 sehr wohl definiert. Überall sonst, also für jedes $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ , gilt: $\begin{eqnarray} f(x)=\frac 1{x^3}. \end{eqnarray}$ Auf jedem Kompaktum innerhalb Deiner Intervalle sollte also alles klar sein. Auch die uneigentlichen Intervallgrenzen machen keine Probleme. Was ist aber in der Umgebung von 0 los? Kann das Intervall auch zum Nullpunkt offen sein? Die suggestive Fragestellung impliziert ja bereits die Antwort, die Du jetzt aber selber begründen solltest. Hab jetzt gerade Deinen letzten Post gelesen und muss Dir leider mitteilen, dass Du den vergessen kannst, da die angegeben Suprema falsch sind.
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04.01.2010, 23:02	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Umgebung von 0 definiere ich mal "halb-mathematisch" $\begin{eqnarray} I_0:=\left(-1,1\right) \end{eqnarray}$ \0 (Also das Intervall von -1 bis 1, nur lasse ich die bei meiner Betrachtung 0 weg und spar mir hier für's Board 2 Intervalle zu machen...) Und dann betrachte ich f(x) im Intervall $\begin{eqnarray} I_0 \end{eqnarray}$ . Desto mehr x sich dann der 0 nähert, desto größer wird f(x), da ich ja den Kehrwert/das Inverse von $\begin{eqnarray} x^3 \end{eqnarray}$ , sprich von einem immer kleiner werdenden Bruch, betrachte. f(x) ist aber nicht stetig in 0, da f(0)=0 ist und die Funktion dementsprechend 2 Sprünge in den Funktionswerten macht: einmal von links an die 0 ran von unendlich auf 0 und umgekehrt von rechts genauso. Das waren erst mal direkt meine vielleicht etwas wirren Gedanken aufgeschrieben, sorry, wenn es schwer zu verstehen ist. Dann zum Supremum: Ich bin grad einfach mal zu faul, es in meinen Unterlagen zu suchen, vor allem bin ich mir nicht sicher, ob ich es direkt verstehe, aber du kennst wahrscheinlich die Antwort auf meine Frage auswendig: Ist das Supremum das x, das den größten y-Wert annimmt, oder ist das der y-Wert selber? Wenn es der y-Wert selber ist, dann müsste man eigentlich nur in meinen angegebenen Supremas die 0 jeweils gegen $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ tauschen und es wäre richtig, da wir das Supremum so definiert haben, dass es nicht in der betrachteten Menge liegen muss (weshalb auch die 0 hätte richtig sein können...)

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