Traktrix Herleitung

04.01.2010, 19:33	Phoeniixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Traktrix Herleitung Hallo, also zur Zeit versuche ich die Funktion der Traktrix herzuleiten, und zwar die, bei der sich der Zugpunkt auf der x-Achse bewegt. Also die Differentialgleichung zu bekommen ist ja kein Problem. das wäre die $\begin{eqnarray} y'= \frac{-y}{\sqrt[1]{a²-y²} } \end{eqnarray}$ Nun will ich ja das Integral davon, sprich: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! y' \, dy \end{eqnarray}$ (natürlich ohne Grenzen), was ja dann die normale Funktion wäre? Laut Wikipedia soll ich das ja durch Substitution von y=a/cosh(t) machen. Leite ich das ab erhalte ich auch dy=asinh(t) / cosh²(t) dt Wenn ich das dann beides einsetz komm ich auf ein Integral, von dem ich nicht glaube das es richtig ist: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! \frac{-asinh(t)}{cosh³(t)\sqrt[1]{1-\frac{1}{cosh²(t)} } } \, dt \end{eqnarray}$ Wird wohl an der Substitution liegen oder? Ist die aus Prinzip schon falsch? Auch wenn ich die DFG dann nach dx auflöse (wie in Wikipedia) und dann dy und y einsetzte erhalte ich nicht das selbe wie dort [wobei ich da nichtmal wirklich verstehe warum ich das machen sollte ), sondern: $\begin{eqnarray} dx= -\frac{a\sqrt[1]{1-\frac{1}{cosh²(t)} }sinh(t) }{cosh(t)} dt \end{eqnarray*}$ Kann mir denn jemand bitte nen Tipp geben wo mein Fehler liegt? Hab selbst auch schon gegooglet aber nichts wirklich gefunden. Hier wäre mal der Link von Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Traktrix#Herleitung Vielen Dank schonmal für die Bemühungen! MfG Patrick
04.01.2010, 20:08	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Traktrix Herleitung Wenn du mit y ' die Ableitung von y nach x meinst, muss das Integral mit ... dx aufhören. Der Link in Wikipedia zeigt nur, wie man x als Funktion von y bekommt, nicht umgekehrt.
09.01.2010, 15:05	Phoeniixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, vielen Dank erstmal für deine Antwort. Also hab meinen Anfang jetzt fallen lassen und hab jetzt erstmal selber die Parameterdarstellung hergeleitet für den Fall, dass man den Zugpunkt auf der x-Achse verschiebt, und die Funktion y(x) für den Fall, dass man den Zugpunkt auf der y-Achse verschiebt. Sollte richtig sein, zumindest findet man im Internet die gleichen. Ich hoffe das reicht für meine weiteren vorhaben. Und zwar will ich zum einen die Fläche unter der Traktrix errechnen. Also nehm ich das Integral von y(x): $\begin{eqnarray} \int_a^b \! [dln(\frac{d+\sqrt{d²-x²} }{x}) - \sqrt{d²-x²} ] \, dx \end{eqnarray}$ Kann ich das denn nun einfach in: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! dln(\frac{d+\sqrt{d²-x²} }{x}) \,dx - \int_a^b \! \sqrt{d²-x²}\, dx \end{eqnarray}$ zerlegen???? Steh grade irgendwie auf dem Schlauch mit den Grundrechenregeln. Vielen Dank schonmal für eure Hilfe. MfG
09.01.2010, 15:15	wisili	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Zerlegung stimmt. (Habe aber das erste Integral nicht überprüft.)
09.01.2010, 15:16	Phoeniixx	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok danke. Und die stimmt schon, das ist einfach der Integral der Funktion, und die stimmt auch mit Wikipedia und co ein. Hab da jetzt einfach mal vertrauen.

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