von einer komplexe zahl realteil/imaginärteil bestimmen

04.01.2010, 21:18	krishaan	Auf diesen Beitrag antworten »
von einer komplexe zahl realteil/imaginärteil bestimmen hallo! ich versuche mich grade in das thema der komplexen zahlen einzuarbeiten. vor mir liegt eine aufgabe, von der ich die lösung habe, jedoch kann ich diese nicht nachvollziehen! also, hier die aufgabe: Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag von $\begin{eqnarray} z \in C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z = 2^{-30}\cdot (i-\sqrt{3})^{32} \end{eqnarray}$ so weit so gut. in der lösung wurde zunächst nur der term in der klammer betrachtet: $\begin{eqnarray} ( i - \sqrt{3} )^{32} = \left( 2 \cdot \cos(\frac{5\pi}{6}) + i \cdot 2\sin(\frac{5\pi}{6})\right)^{32} \end{eqnarray}$ diesen schritt kann ich absolut nicht nachvollziehen. laut papula scheint ja der zweite term die polarform zu sein womit ich dann ganz easy zur kartesischen form komme. aber leider seh ich nicht wie aus dem ersten term auf einmal diese polarform hergeleitet werden kann. danke schonmal im voraus!
04.01.2010, 21:50	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (- \sqrt{3} + i) = -2 \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2}) = -2 \cdot e^{-i \frac{\pi}{6}} = 2 \cdot e^{i \frac{5}{6} \pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{i \phi} = \cos(\phi) + i \sin(\phi) \end{eqnarray}$
07.01.2010, 20:47	krishaan	Auf diesen Beitrag antworten »
danke el snyder für deine fixe antwort. hab eine weile gebraucht um hinter deine rechnung zu steigen, aber ich denke so ansatzweise kann ich es nachvollziehen. nur eines nicht, wenn ich das nochmal rechne, dann komme ich nur auf $\begin{eqnarray} \left( 2 \cdot \cos(\frac{\pi}{6}) + i \cdot 2\sin(\frac{\pi}{6})\right)^{32} \end{eqnarray}$ wo bekommt man die $\begin{eqnarray} \frac{5\pi}{6} \end{eqnarray}$ her? danke!
07.01.2010, 21:17	El_Snyder	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt $\begin{eqnarray} - e^{i \phi} = e^{i (\phi + \pi)} \end{eqnarray}$ Demnach wäre dein Term richtig für -2 und -pi/6

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