Differenzierbarkeit untersuchen (nur Korrektur)

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04.01.2010, 23:33	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Differenzierbarkeit untersuchen (nur Korrektur) Hallo! Diese Aufgabe scheint mir zwar ganz einfach zu sein, ich würde aber gerne wissen, ob ich sie richtig gelöst habe (ich muss nämlich noch eine Aufgabe an der Tafel vorrechnen, um zur Klausur zugelassen zu werden und die muss dafür natürlich richtig bearbeitet sein. Deshalb bitte ich einfach mal um Korrektur, da es wirklich wichtig ist für mich) Also hier dann die Aufgabe: Untersuchen Sie, ob die folgende Funktion einmal bzw. zweimal differenzierbar ist und berechnen Sie ggf. die Ableitungen $\begin{eqnarray} f:\mathbb R -> \mathbb R ~mit~ f(x)=x\| x \| \end{eqnarray}$ Hier wende ich die Produnktregel an, sodass ich $\begin{eqnarray} f(x)=g(x)h(x)~mit~g(x)=x~und~h(x) \end{eqnarray}$ habe. Dann ist: $\begin{eqnarray} g'(x)=1 \end{eqnarray}$ und für h'(x) muss ich eine Fallunterscheidung machen, die nehme ich mir allerdings aus der Vorlesung und schreibe hier nur: 1.Fall: x>0->h'(x)=1 2.Fall: x<0->h'(x)=-1 und 3. Fall: x=0 ->es existiert keine Ableitung Nun setze ich nach der Produktregel die Ableitungsfunktion zusammen: 1.Fall: x>0: $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=1\cdot \| x \| + x\cdot 1=\| x \|+x \end{eqnarray}$ 2.Fall: x<0: $\begin{eqnarray} f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)=1\cdot \| x \| + x\cdot -1=\| x \|-x \end{eqnarray}$ "3.Fall": x=0: hier existiert keine Ableitung, da h'(0) nicht existiert. Dann betrachte ich die beiden ersten Fälle und erhalte für f''(x): 1.Fall: x>0: $\begin{eqnarray} f''(x)=(\| x \|)'+(x)'=1+1=2 \end{eqnarray}$ 2. Fall: x<0: $\begin{eqnarray} f''(x)=(\| x \|)'-(x)'=-1-1=-2 \end{eqnarray}$ Dabei muss ich keine weitere Fallunterscheidung machen, da für die beiden Fälle ja jeweils schon angegeben ist, ob x<0 oder x>0 gilt. Das sind jetzt ja nur die jeweiligen Ableitungen, gibt es denn eine Möglichkeit, schon bevor man ableitet zu erkennen, ob das überhaupt geht?? Also ohne es direkt zu tun, heraus zu finden, ob eine Funktion diffbar ist?? Denn schließlich fragt die Aufgabenstellung so, als wenn das möglich wäre... Wenn ja, hat das einen Namen, unter dem ich diesen "Test auf Diffbarkeit" finden kann??
04.01.2010, 23:52	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differenzierbarkeit untersuchen (nur Korrektur) Eine Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ heißt genau dann differenzierbar an dem Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , falls der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x) - f(x_0)} {x - x_0} \right) \end{eqnarray}$ exisitert. In diesem Falle heißt dieser Grenzwert die Ableitung von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ an der Stelle $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ Eine Funktion heißt zweimal differenzierbar an dem Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ , falls die Ableitung an dem Punkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ differenzierbar ist. P.S. Die Ableitungen und die Rechnungen von dir scheinen alle richtig zu sein.
05.01.2010, 19:12	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, super, danke, mir war nicht klar, dass man mit Hilfe des Limes bestimmt, ob eine Funktion diffbar ist. Den hatte ich mir deshalb auch gespart, ihn über latex hier rein zu schreiben. Werde ihn aber auf jeden Fall noch mit bei meinen Übungen angeben und dann hoffentlich genug Punkte kriegen, um die Aufgabe vor zu rechnen. Dann steht auch meiner Klausur-Zulassung nix mehr im Weg! Dankeschön!
05.01.2010, 19:18	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mit dem Vorgehen nicht einverstanden. Du behauptest nun also, dass die Funktion f nicht differenzierbar ist, da sie bei x=0 nicht differenzierbar ist, weil \|x\| dort nicht diff.bar ist. Ich gebe dir jetzt mal ein Alternativargument: Egal, was h'(0) wäre, wegen g(0) = 0 verschwindet dieser Summand in der Ableitung von f sowieso. Oder auch so: Durch den Faktor x 'schmiegt' sich f etwas mehr an den Ursprung an und die nicht differenzierbare Stelle könnte "ausgebügelt" werden. Ich finde also, du solltest die kritische Stelle x=0 mal etwas genauer (Diff.-quotient) betrachten. air
05.01.2010, 21:11	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Vorlesung haben wir bereits den Diff-Quot. für $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ betrachtet: $\begin{eqnarray} \frac{h(x)-h(0)}{x-0} = \frac{\| x \| }{x} \end{eqnarray}$ (ich kenn den code für die große geschweifte klammer nicht, deshalb versuch ich es mal so: ) =1 für x>0 bzw. =-1 für x<0 daraus folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_0} \frac{h(x)-h(0)}{x-0} \end{eqnarray}$ existiert nicht und daraus folgt h'(0) existiert nicht Dementsprechend ist f nicht auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ diffbar, sondern nur in den Intervallen $\begin{eqnarray} \left(-\infty ,0\right) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \left(0, +\infty \right) \end{eqnarray}$ Aber der Diff.-Quot. von f(x) für $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ ist ja: $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{x\| x \| - 0 }{x-0} =\frac{x\| x \| }{x} \end{eqnarray}$ Also ist für meinen 3.Fall x=0 der Diff-Quot. die Ableitung und für f''(x) muss ich dann auch diesen noch einmal ableiten für den Fall x=0 (denn ich habe ja bereits durch die erste Ableitung eine Fallunterscheidung eingebracht und brauche somit hier wirklich nur noch x=0 betrachten) Ich "vergesse" hier also, dass h'(x) für x=0 nicht existiert und mache für x=0 alles über den Diff-Quot., hätte es mir also sparen können, erst mal meine Vorlesung in latex zu übersetzen... Demnächst denke ich doch besser auf einem Blatt und nicht hier am Bildschirm...
05.01.2010, 21:25	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Um ehrlich zu sein habe ich keinen deiner Sätze verstanden. Was genau schließt du nun aus dem Differentialquotienten für x_0 = 0 von f, den du eben aufgestellt hast? Edit: Naja, seien wir mal genau ... du hast den Differenzquotienten aufgestellt. Bilde nun noch x->x_0=0, also den Differentialquotienten - sprich f'(0) ... auf was kommst du? air
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05.01.2010, 21:45	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn x->x_0 geht, dann kommt für den diffquot. 0 raus. das ist doch dann jetzt endlich die ableitung von f(0), oder nicht?? ich verzweifel grad allgemein ein bisschen, weil ich mich auch noch mit den anderen aufgaben auf dem blatt, wo diese aufgabe her ist, beschäftige... deshalb auch: 'tschuldigung, dass meine ausführungen nicht so ganz verständlich sind...
05.01.2010, 22:10	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist also $\begin{eqnarray} f'(0) := \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x \to 0} \frac{x\|x\|}{x} = \lim_{x \to 0} \|x\| = \|0\| = 0 \end{eqnarray}$ Insbesondere existiert der Grenzwert und die Ableitung an dieser Stelle also und damit ist f auch differenzierbar. Anmerkung: Auch wenn Maple das anders sieht - das beschwert sich da auch. Liegt der Riesendenkfehler nun bei mir? Ich vermute mal, Maple rechnet insgeheim mit der Produktregel und macht den selben Fehler wie du auch. Nicht-Differenzierbarkeit wird hier aber nicht 'vererbt', wie man am Differentialquotient ja sieht. Jedenfalls sehe ich immernoch keinen Fehler. Edit: Habe mir das nun von zwei Leuten aus meiner Unsicherheit heraus bestätigen lassen, weshalb gleich eine eMail an den Maplesoft-Support rausging. Edit #2: Schlimm, wenn man bei einer so banalen Sache unsicher wird, weil Maple was anderes sagt. air
05.01.2010, 23:00	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
gut, ich kann mir zwar noch nicht erklären, warum da dann der betrag von 0 raus kommt, aber ich hab meinen fehler verstanden. das werde ich dann mal morgen (hoffentlich) richtig zusammen setzen und muss dann auch schon die aufgabe abgeben. ich frage mich mittlerweile, ob die leute, die für die ganzen aufgaben verantwortlich sind, davon ausgehen, dass nur übermenschen ohne freunde und hobbies mathe studieren... aber das wird jetzt off-topic, wenn ich da weiter philosophiere, ich muss nur ein wenig meinen "kummer" los werden... deshalb geh ich auch jetzt vollkommen fertig schlafen... aber, nicht vergessen: DANKESCHÖN!!
05.01.2010, 23:05	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber ich kann beim besten Willen nicht nachvollziehen, wie du das Ergebnis nicht verstehen kannst. "Kürzen" wird dir doch geläufig sein, oder P.S.: Nur weil jemand gut in Mathe ist, ist er kein abartiges Freak-Monster air
06.01.2010, 09:09	kleenes annilein	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, es war schon zu spät für mich, da vergesse ich die einfachsten sachen.... deshalb war es mir ja auch NOCH nicht klar... p.s.: ich mein auch nicht, dass menschen, die gut in mathe sind, freaks sind, sondern, dass ich das gefühl habe, dass man die aufgaben im ersten semester nur gut schaffen kann, wenn man nichts anderes mehr macht.... und ich weiss ja, dass es vielen mathe-erstis da ähnlich geht. deshalb frag ich mich, warum man das so macht, denn mehr lernen tue ich zumindest nicht durch mehr vorgesetzten arbeitsaufwand.... es war also eher eine "versteckte system-kritik"... gibt es hier eigentlich ein unter-forum, in dem man sich zu genau diesem thema mal auskotzen kann??? ich merk grad, dass mich das schon ziemlich aufregt...

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