Konjugation, Gruppen

05.01.2010, 01:51	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Konjugation, Gruppen Hallo. Ich sitze vor einer Aufgabe und komme nicht weiter. Vor: H,K $\begin{eqnarray} \le \end{eqnarray}$ G, G-Mengen G/H und G/K sind isomorph. Beh: H und K sind zueinander konjugiert. Ich muss also zeigen, dass es ein g in G gibt mit $\begin{eqnarray} K=gHg^{-1} \end{eqnarray}$ . Ich habe aber keine Ahnung, was ich aus dem "isomorph" ableiten kann... Es muss wohl mit den Standardgruppen zu tun haben (?). Hat jemand einen Tipp für mich? Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar, frieder
05.01.2010, 04:10	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich gehe einmal davon aus dass G endlich ist. Beweise zunächst dass \|H\| = \|K\|. Betrachte dann für einen G-Mengen-Isomorphismus $\begin{eqnarray} \phi : G/H \to G/K \end{eqnarray}$ einmal die Gleichung $\begin{eqnarray} \phi(hH) = \phi(H) \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} h\in H \end{eqnarray}$ . Versuche die einmal ein wenig auszuschlachten und die Aussage steht so gut wie da
08.01.2010, 00:17	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Tipps! Mein Beweis sieht nun so aus: Sei $\begin{eqnarray} \varphi: G/H \to G/K \end{eqnarray}$ ein Isomorphismus mit $\begin{eqnarray} \varphi (H) =bK , b \in G \end{eqnarray}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray} a \in H \Leftrightarrow ea \in H \Leftrightarrow eH=aH \Leftrightarrow H=aH \Leftrightarrow \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ bijektiv $\begin{eqnarray} \varphi (H) = \varphi (aH) = bK = abK \Leftrightarrow a \in bKb^{-1} \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} a \in H \end{eqnarray}$ beliebig war, gilt: $\begin{eqnarray} H = bKb^{-1} \end{eqnarray}$ für ein bestimmtes $\begin{eqnarray} b \in G \end{eqnarray}$ . Geht das so? grüße, frieder
08.01.2010, 00:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber gezeigt hast du nur $\begin{eqnarray} H \subset bKb^{-1} \end{eqnarray}$ . Die Begründung für Gleichheit fehlt noch
08.01.2010, 00:34	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
achso... aber ich habe doch überall Äquivalenzpfeile nach dem Schema $\begin{eqnarray} a \in H \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow a \in bKb^{-1} \end{eqnarray}$ . Ich sehe den Knackpunkt nicht.... Kannst du mir helfen? grüße, frieder
08.01.2010, 00:51	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich nehme alles zurück und behaupte das Gegenteil Es stimmt so, ich hab die letzte Äquivalenz nur nicht direkt gesehen
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08.01.2010, 00:52	frieder	Auf diesen Beitrag antworten »
okidoki, dann ist ja alles gut! Vielen Dank nochmal!

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