[Artikel] Turmhöhe aus drei Höhenwinkeln berechnen

05.01.2010, 10:45	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
[Artikel] Turmhöhe aus drei Höhenwinkeln berechnen Auf einer Geraden liegen die drei Punkte A, B und C. B ist der mittlere Punkt und hat zu A den Abstand 150 m und zu C den Abstand von 90 m. Seitlich von dieser Geraden steht ein Turm, dessen Höhe errechnet werden soll, und zwar mit folgenden Angaben: Die Turmspitze erscheint von Punkt A aus . . . . . . . . 42°, von Punkt B aus . . . . . . . . 35° und von Punkt C aus . . . . . . . . 26° über dem Horizont. Die Punkte A, B und C sowie der Fußpunkt des Turms liegen in der horizontalen Ebene, die Turmspitze liegt lotrecht über dem Turmfußpunkt. Wie hoch ist der Turm? Auch die Lage des Turms relativ zu den drei Punkten ist errechenbar, hier gibt es aber zwei Lösungen.
05.01.2010, 11:12	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: [Artikel] Turmhöhe aus drei Höhenwinkeln berechnen Die Entfernung der Punkte vom Fußpunkt (= F) des Turms kann durch die Turmhöhe (= x) folgendermaßen ausgedrückt werden (Skizze 1): $\begin{eqnarray} AF= \frac{x}{tan\,\,42^\circ},\,\,\, BF= \frac{x}{tan\,\,35^\circ},\,\,\, CF= \frac{x}{tan\,\,26^\circ} \end{eqnarray}$ [attach]12804[/attach] Skizze 1 $\begin{eqnarray} \bullet \end{eqnarray}$ Erster Lösungsweg: Wenn wir die drei Punkte in ein Koordinatensystem legen, dass A im Ursprung und C in (240;0) liegt, kann der seitliche Abstand (= s) des Turms von der Geraden durch Auflösung dreier Dreiecke mit Pythagoras ausgedrückt werden (Skizze 2). $\begin{eqnarray} (1)\,\,\,\,\,\,s^2=\frac{x^2}{(tan\,\,42^\circ)^2}-y^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2)\,\,\,\,\,\,s^2=\frac{x^2}{(tan\,\,35^\circ)^2}-(150-y)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3)\,\,\,\,\,\,s^2=\frac{x^2}{(tan\,\,26^\circ)^2}-(240-y)^2 \end{eqnarray}$ [attach]13147[/attach] Skizze 2 Gleichsetzen von (1) und (2) ergibt: $\begin{eqnarray} (4)\,\,\,\,\,\,x^2\cdot \left(\frac{1}{(tan\,\,42^\circ)^2}-\frac{1}{(tan\,\,35^\circ)^2}\right)=300\cdot y-150^2 \end{eqnarray}$ Gleichsetzen von (1) und (3) ergibt: $\begin{eqnarray} (5)\,\,\,\,\,\,x^2\cdot \left(\frac{1}{(tan\,\,42^\circ)^2}-\frac{1}{(tan\,\,26^\circ)^2}\right)=480\cdot y-240^2 \end{eqnarray}$ Die Variable x in den Gleichungen (4) und (5) kann durch eine gängige Methode eleminiert werden, sodass sich am Ende ergibt: $\begin{eqnarray} y=40,464 . . . \end{eqnarray}$ Dies eingesetzt in (4) oder (5) bringt die Lösung für die Turmhöhe $\begin{eqnarray} x=113,37 m \end{eqnarray}$ (gerundet). $\begin{eqnarray} \bullet \end{eqnarray}$ Zweiter Lösungsweg (mit Dank an riwe): Wie oben schon erwähnt, ist die Entfernung der Standpunkte vom Turmfuß der Cotangens des Höhenwinkels im jeweiligen Standpunkt. Daher liegt der Turm im Schnittpunkt dreier Kreise. Sei Standpunkt A (0;0), B (150;0) und C (240;0). Dann ergeben sich für die Kreise folgende Gleichungen. $\begin{eqnarray} (6)\,\,\,\,\,\,x^2+y^2=\left(\frac{h}{tan42^{\circ}}\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (7)\,\,\,\,\,\,x^2-300x+22500+y^2=\left(\frac{h}{tan35^{\circ}}\right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (8)\,\,\,\,\,\,x^2-480x+57600+y^2=\left(\frac{h}{tan26^{\circ}}\right)^2 \end{eqnarray}$ Aus (6) - (7) ergibt sich: $\begin{eqnarray} x=\frac{22500+h^2\cdot\left(\frac{1}{tan^242^{\circ}}-\frac{1}{tan^235^{\circ}}\right)}{300} \end{eqnarray}$ und aus (7) - (8): $\begin{eqnarray} x=\frac{35100+h^2\cdot\left(\frac{1}{tan^235^{\circ}}-\frac{1}{tan^226^{\circ}}\right)}{180} \end{eqnarray}$ Durch Gleichsetzen der beiden letzten $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ergibt sich für die Turmhöhe $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ ebenfalls: 113.37m (auf zwei Stellen gerundet).

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