maximales Volumen (p/q Formel) unter Berücksichtigung eines festen Gurtmaßes

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Chris998 Auf diesen Beitrag antworten »
maximales Volumen (p/q Formel) unter Berücksichtigung eines festen Gurtmaßes
Ich erhoffe mir mit Hilfe der p/q Formel das maximale Volumen eines Kartons bestimmen zu können.

Leider darf dabei das Gurtmaß von maximal 3 Metern sowie die Länge (der längsten Seite) von 1,75m nicht überschritten werden.

- Wie lang/breit/hoch darf der Karton sein, damit das Volumen unter den o.g. Voraussetzungen maximal ist?

- Wie lautet die Formel?

Ich hoffe mir kann jemand helfen.

gruss Chris
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: maximales Volumen (p/q Formel) unter Berücksichtigung eines festen Gurtmaßes
Schema für Extremwertaufgaben:

1) Umsetzen von Bedingungen zu Gleichungen, in denen eine Variable durch eine andere ausgedrückt wird.

2) Erstellen einer Funktionsgleichung, welche die gesuchte Größe (hier: Volumen) beschreibt.

3) Nullsetzen der Ableitung dieser Funktion.

Und, wie immer, vorerst einmal Festlegung von Variablennamen. Legen wir für Länge, Breite und Höhe des Kartons fest.

Zu 1): Bedingung ist hier der Begriff Gurtmaß. Nachdem und das Gurtmaß bekannt sind, kannst Du eine Beziehung herstellen zwischen und , daher bleibt nur mehr eine Variable.

Zu 2): Ein Karton ist ein gerades Prisma mit rechteckiger Grundfläche, also ist das Volumen = L * B * H.
Chris998 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Gualtiero,
vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Aber zu 1.)
Das Gurtmaß ist bekannt ja - aber L nicht! Denn L darf nur nicht länger als 1,75m sein. Die Frage ist aber, wie lang müssen L, B und H sein, damit das Volumen maximal ist.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm L mit 1.75m an und dann fahre fort, wie ich geschrieben habe.

Edit: Sorry, ich sehe gerade, dass L=1.75 nicht das maximale Volumen ergibt. Ich schaue es mir noch an.
Chris998 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe herausgefunden (zumindest glaube ich das), dass die L=1,00m; B=0,50m; C=0,50m das maximale Volumen ergibt.

Wenn dem so wäre, wie könnte ich das in einer Excel Tabelle darstellen? Quasi als math. Beweis.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe es so, dass man diese Aufgabe nur in zwei Schritten lösen kann.
Da das Volumen auch von der Grundfläche abhängig ist, braucht man zu einer Höhe die maximale Grundfläche. Man kann ableiten - eigentlich solltet Ihr solche Aufgaben schon behandelt haben - , dass bei gleichbleibendem Umfang von allen Rechtecken das Quadrat eine maximale Fläche hat.
Daher haben wir nur noch zwei Variablen, und zwischen diesen lautet die Beziehung:



Damit kann man die Funktion für das Volumen in Abhängigkeit von L definieren:



Die Ableitung dieser Funktion auf Null gesetzt bringt für L die Lösungen 3 und 1, wobei 3 wegfällt, da ja damit das Volumen Null wäre.

Brauchst Du das für die Schule oder für einen anderen Zweck?

Ich frage deswegen, weil es uns ja um das Verständnis geht, und wieviel Du vom Rechenweg bereits verstanden hast, weiß ich bis jetzt nicht.
 
 
Chris998 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen Gualtiero,
vielen Dank für deine Hilfe.

Ich benötige das für die Arbeit. Sicherlich habe ich das schon mal behandelt, aber nicht "in letzter Zeit" ;-)

Deine letzte Anwort werde ich mir mehr als einmal durchlesen müssen, um das Verständnis hierfür in Erinnerung zu rufen.

gruss Chris
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