Integrale "kürzen"

05.01.2010, 11:47

bebissig

Integrale "kürzen"

Hallo Leute, vielen dank schonmal für Antworten. Bin bei Klausurvorbereitungen und wär auch sehr dankbar für ein paar Tipps.

Es geht um Newtons Wärmeleitungsgleichung, sie Aufgabe lautet wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} u\in C^2(\Omega \times R) \end{eqnarray*}$ die Temperatur eines n-dimensionlane beschränkten, regulären Körpers $\begin{eqnarray*} \Omega\in R^n \end{eqnarray*}$ . Laut Newton gilt für jedes Gebiet $\begin{eqnarray*} \varGamma\in\Omega \end{eqnarray*}$ und jede zwei Zeiten $\begin{eqnarray*} t_1,t_2 \in R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{\varGamma} u(x,t_1)-u(x,t_2) d^n x = \int_{t_1}^{t_2}\int_{\partial\varGamma} \langle -\kappa \nabla u(x,\tau),\nu(x)\rangle dS d\tau \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \kappa > 0 \end{eqnarray*}$ der Wärmeleitungskoeffizient und $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ die Normale zur Fläche $\begin{eqnarray*} \partial\varGamma \end{eqnarray*}$ . Zeige:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}u(x,t)=\kappa *\nabla^2 u(x,t) \end{eqnarray*}$

Nun meine Lösung:
Mit Gauss sofort:

$\begin{eqnarray*} \int_{\varGamma} u(x,t_1)-u(x,t_2) d^n x = \int_{t_1}^{t_2}\int_{\varGamma} -\kappa \nabla^2 u(x,\tau) d^nx d\tau \end{eqnarray*}$

In der Lösung die ich habe wird nun $\begin{eqnarray*} t_1=t \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t_2=t+\epsilon \end{eqnarray*}$
gesetzt und dann nach Epsilon bei Epsilon = 0 abgeleitet.

Auf der rechten Seite ist mir der Schritt klar, wir leiten nach oberer Integralgrenze ab, da kommt einfach die Funktion raus.
Auf der linken Seite, kann ich aber nicht recht nachvollziehen, warum ich das Differential ins Integral reinziehen kann....
Hier bräuchte ich Hilfe

Weiter steht dann:

$\begin{eqnarray*} -\int_{\varGamma}\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) d^n x = \int_{\varGamma} -\kappa \nabla^2 u(x,\tau) d^nx \end{eqnarray*}$

Für den letzten Schritt der jetzt kommt hab ich auch noch keine befriedigende Erklärung. Ich schliesse von hier aufs gesuchte Resultat,
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}u(x,t)=\kappa *\nabla^2 u(x,t) \end{eqnarray*}$
einfach damit, dass das obige Integral nach Voraussetzung für alle Gebiete gilt. Dh. auch für sehr kleine damit wird der Integrand sozusagen eine lokale Eigentschaft...
Kann mir jemand sagen wie man das mathematisch ungefähr erklärt, und wie denkt ihr müsste man das bei 'ner Klausur begründen?

Vielen Dank und schönen Tag

05.01.2010, 13:40

wogir

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RE: Integrale "kürzen"

Zitat:

Original von bebissig

Auf der linken Seite, kann ich aber nicht recht nachvollziehen, warum ich das Differential ins Integral reinziehen kann....
Hier bräuchte ich Hilfe

Liegt soweit ich weiß daran, dass $\begin{eqnarray*} u \in C^2(\Omega\times\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von bebissig
Weiter steht dann:

$\begin{eqnarray*} -\int_{\varGamma}\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) d^n x = \int_{\varGamma} -\kappa \nabla^2 u(x,\tau) d^nx \end{eqnarray*}$

Für den letzten Schritt der jetzt kommt hab ich auch noch keine befriedigende Erklärung. Ich schliesse von hier aufs gesuchte Resultat,
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial t}u(x,t)=\kappa *\nabla^2 u(x,t) \end{eqnarray*}$
einfach damit, dass das obige Integral nach Voraussetzung für alle Gebiete gilt. Dh. auch für sehr kleine damit wird der Integrand sozusagen eine lokale Eigentschaft...

Würd ich ungefähr auch machen: wenn
$\begin{eqnarray*} \int_{\varGamma}\left(\frac{\partial}{\partial t} u(x,t) -\kappa \nabla^2 u(x,\tau) \right)d^n x = 0 \end{eqnarray*}$
für beliebige Gebiete $\begin{eqnarray*} \varGamma \end{eqnarray*}$ gilt, so muss der Integrand bereits verschwinden.

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