Bilinearität prüfen

05.01.2010, 13:06

9mb0

Bilinearität prüfen

Hallo,

die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Seien K ein Körper und $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ . Die Spur(englisch trace) einer Matrix

$\begin{eqnarray*} A= (a_{ij})_{i,j} \in M(n,K) \end{eqnarray*}$ ist definiert durch $\begin{eqnarray*} tr(A) := a_{11}+a_{22}+...+a_{nn} \end{eqnarray*}$ . Entscheiden Sie, welche der folgenden Abbildungen $\begin{eqnarray*} M(n,K)\times M(n,K) \to K \end{eqnarray*}$ schon 2-linear(bilinear) und welche davon auch noch alternierend sind.

$\begin{eqnarray*} i, (A,B) \to tr(A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ii,(A,B) \to tr(A)tr(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} iii,(A,B) \to tr(A)+tr(B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} iv,(A,B) \to tr(AB) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v,(A,B) \to tr(AB-BA) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} vi,(A,B) \to tr(A)tr(B)-tr(BA) \end{eqnarray*}$

Die Pfeile sollen jeweils schon die konkrete Zuordnungsvorschrift darstellen, keine Ahnung wie der richtige Pfeil mit Latex geht.

Wie ich eine bilineare Abbildung, zunächst mal, nachweise finde ich steht hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Abbildung
recht schön.

Mein Problem ist, dass ich irgendwie nichts mit der Form
$\begin{eqnarray*} i, (A,B) \to tr(A) \end{eqnarray*}$
anfangen kann also, was ist eigentlich (A,B) z.b.
ein Tupel von Matrizen? oder nur von Matrizeneinträgen?
ich weiß hald nicht wie ich damit rechnen soll
wäre sehr dankbar wenn mir jemand so etwas ähnliches an einem Beispiel oder so veranschaulichen könnte.

MfG

9mb0

05.01.2010, 15:20

Reksilat

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RE: Bilinearität prüfen
$\begin{eqnarray*} (A,B) \end{eqnarray*}$ ist hier ein Tupel von Matrizen.
Im ersten Beispiel wird dann entsprechend das Tupel $\begin{eqnarray*} \left(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}77&89\\41&58\end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ auf 5 (=tr(A)) abgebildet

05.01.2010, 15:32

9mb0

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ok danke schonmal Augenzwinkern

wäre dann zu zeigen,

$\begin{eqnarray*} (A+C,B)= trA + trC \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A,B+C)= trA + trC \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (aA,B)=a* trA \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A,aB)=a* trA \end{eqnarray*}$

oder ist das völliger blödsinn?

edit: ich glaube das zweite tr C gehört da nicht hin smile

05.01.2010, 15:35

Reksilat

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Für Bilinearität ist zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} (A+C,B)=(A,B)+(C,B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A,B+C)=(A,B)+(A,C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (aA,B)=a(A,B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (A,aB)=a(A,B) \end{eqnarray*}$
ist. Steht auch so in Deinem Link Augenzwinkern

05.01.2010, 15:39

9mb0

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$\begin{eqnarray*} (A+C,B)=(A,B)+(C,B)=tr A + tr C \end{eqnarray*}$

oder kann ich das so nicht sagen?

05.01.2010, 15:42

Reksilat

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Das ist unverständlich! Das erste Gleichheitszeichen ist die Behauptung, das zweite Gleichheitszeichen folgt aus der Definition Deiner Abbildung. Wenn Du das vermischst, weiß keiner mehr, ob Du jetzt etwas behauptest oder beweisen willst.

05.01.2010, 15:52

9mb0

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ach hm ok

ich muss ja quasi zeigen dass die Spur von

$\begin{eqnarray*} (A+C,B) \end{eqnarray*}$ ,was ja praktisch

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} a_{11}+c_{11} & a_{12}+c_{12} \\ a_{21}+c_{21} & a_{22}+c_{22} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$

das ist,

$\begin{eqnarray*} a_{11}+c_{11}+a_{22}+c_{22} \end{eqnarray*}$ ist.

was das gleiche ist, als die Spur von $\begin{eqnarray*} (A,B)+(C,B) \end{eqnarray*}$

richtig?

05.01.2010, 15:55

Reksilat

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Richtig. Da wir aber beliebig große Matrizen haben, sähe der korrekte Beweis so aus:
$\begin{eqnarray*} (A+C,B)={\rm tr}(A+C)={\rm tr}(A)+{\rm tr}(C)=(A,B)+(C,B) \end{eqnarray*}$

Im zweiten Schritt wird hier die Additivität der Spur verwendet, was man natürlich zeigen oder irgendwoher zitieren muss.

05.01.2010, 16:02

9mb0

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ok danke soweit so gut smile

$\begin{eqnarray*} (A,B+C)=tr A\neq tr A + tr C = (A,B)+(A,C) \end{eqnarray*}$

also ist die abbildung nicht bilinear, richtig?

edit: es muss natürlich tr A + tr A heißen

05.01.2010, 16:05

Reksilat

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Hier wäre es günstig, ein konkretes Gegenbeispiel (z.B.: C ist Einheitsmatrix) zu geben. Im Allgemeinen gilt schließlich nicht immer $\begin{eqnarray*} {\rm tr}(A)\neq {\rm tr}(A)+{\rm tr}(C) \end{eqnarray*}$
Ansonsten aber richhtig. Freude

05.01.2010, 16:07

9mb0

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vielen dank=)

05.01.2010, 16:46

9mb0

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puh,

hab doch nochmal ein problem, hab jetzt raus, dass alle(!) nicht bilinear sind, was ja wahrscheinlich nicht stimmt Augenzwinkern

z.b. ii, $\begin{eqnarray*} (A+C,B)=tr(A+C)*tr(B)=(trA+trC)*tr(B) \neq trA+trC=(A,B)+(C,B) \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} tr B \neq 1 \end{eqnarray*}$ und von irgendwelchen Wahlen darf die Bilinearität ja nicht abhängen, richtig?

stimmt die ii, so?

zbd eube weitere Frage, gilt:

$\begin{eqnarray*} tr((A+C)B)=tr(AB+CB) \end{eqnarray*}$ ??

05.01.2010, 16:50

Reksilat

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (A+C,B)=tr(A+C)*tr(B)=(trA+trC)*tr(B) \neq trA+trC=(A,B)+(C,B) \end{eqnarray*}$

Bei (ii) ist $\begin{eqnarray*} (A,B)+(C,B)=tr(A)*tr(B)+tr(C)*tr(B) \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Und $\begin{eqnarray*} tr((A+C)B)=tr(AB+CB) \end{eqnarray*}$ gilt, da ja schon $\begin{eqnarray*} (A+C)B=AB+CB \end{eqnarray*}$ ist. (Matrixmultiplikation ist distributiv.)

05.01.2010, 17:02

9mb0

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ach gott wie blöd....

ja danke Ups

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