Baryzentrische Koordinaten

05.01.2010, 13:55	Gabelsprosse	Auf diesen Beitrag antworten »
Baryzentrische Koordinaten Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabenstellung. Gegeben ist: Ein Dreieck DABC mit pA = (1,2), pB = (3,3), pC = (0,4) Ein Punkt p = (2,3) Ein weiteres Dreieck TABC mit tA = (0,0), tB = (1,0), tC = (0,1) Es existiert eine Abbilung f: DABC -> TABC mit f(pA) = tA, f(pB) = tB und f(pC) = tC Gesucht ist: Die Koordinate eines Punktes t zum Dreieck TABC, die in ihrer Lage dem Punkt p zum Dreieck DABC entspricht, es gilt also f(p) = t Die Ermittlung von Punkt t soll über Baryzentrische Koordinaten geschehen. Punkt p ist gegeben durch: $\begin{eqnarray} p = u p_A + v p_B + w p_C \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (2,3) = u (1,2) + v (3,3) + w (0,4) \end{eqnarray}$ Das Ziel ist, u, v und w über diese Gleichung zu bestimmen. Weiterhin gilt u + v + w = 1 Sind u, v und w bekannt, kann t bestimmt werden durch: $\begin{eqnarray} t = u t_A + v t_B + w t_C \end{eqnarray}$ Für mich läuft es also darauf hinaus, 3 Unbekannte (u, v und w) mit nur einer Gleichung und dem Wissen, dass u + v + w = 1 gilt, zu bestimmen. Doch ich kann damit höchstens eine der 3 Unbekannten durch die anderen Darstellen, indem ich die Gleichung so (oder ähnlich) umforme: $\begin{eqnarray} (2,3) = (1 - v - w) (1,2) + v (3,3) + w (0,4) \end{eqnarray}$ Meine Frage nun. Wie geht es nach diesem Schritt weiter? Entweder v oder w müssen noch verschwinden, dann ist der Spuk vorbei, aber ich komme nicht drauf. Kann mir hierzu jemand qualifizierte Hilfe geben?
05.01.2010, 17:52	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz einfach, du kannst aus der angegebenen Punkteverwandtschaft zwei Gleichungen in den Unbekannten v und w erstellen. Nämlich eine für die "x-Richtung" und eine für die "y-Richtung". Du hast also nichts weiter zu tun, als die Punkt-Gleichung zeilenweise (d.h. koordinatenweise) anzuschreiben: 2 = 1(1 - v - w) + 3v + 0w 3 = 2(1 - v - w) + 3v + 4w __________________________ mY+
05.01.2010, 20:15	Gabelsprosse	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank für diesen Tipp! Es ist schon irgendwie offensichtlich, aber ich war wohl zu blind. Ich habs direkt angewandt und konnte eine Lösung produzieren. In Kurzform: $\begin{eqnarray} v = 0,6 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w = 0,2 \end{eqnarray}$ mittels Gleichungssystems ermittelt, danach $\begin{eqnarray} u = 1 - v - w = 1 - 0,6 - 0,2 = 0,2 \end{eqnarray}$ bestimmt. Einsetzen in $\begin{eqnarray} t = u t_A + v t_B + w t_C \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} t = 0,2 \cdot (0,0) + 0,6 \cdot (1,0) + 0,2 \cdot (0,1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t = ((0,6), (0,2)) \end{eqnarray}$
05.01.2010, 22:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
v, w stimmen mY+

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