Verhältnis, Proportion

05.01.2010, 16:25

oli1234oli

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Verhältnis, Proportion

Hallo, stehe vor folgendem Problem:

Ein oben offener Quader mit der Höhe h und den Basiskanten a und b hat die Oberfläche A=56cm².
Für seine Kanten gilt; a:b=4:5 und h:a=1:2

Frage: Berechne das Volumen!

Also das Verhältnis a:b:h wäre wenn ich mich nicht täusche 4:5:2.

Das Volumen des Quaders wära a*b*h

Und die Oberflächenformel lautet: O=2*(ab*ah*bh)

Nun wie ich die Rechnung genau angehe, macht mir ein wenig Kopfzerbrechen.

Eigentlich wäre die Oberfläche eines oben offenen Quaders O=2*(ah*bh).

Wie gehe ich nun weiter vor?

05.01.2010, 16:35

Rechenschieber

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Beachte zunächst, dass das Kästchen nach oben offen ist.
Damit entfällt der Faktor 2, bzw. musst du diese eine Fläche wieder abziehen.
LGR

05.01.2010, 16:38

oli1234oli

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also besitzt dieser Quader 5 Flächen ansatt der 6.

05.01.2010, 16:50

Rechenschieber

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Ganz genau.

Du stellst die Volumen- und die Oberflächenformel auf.
Anschließend eliminierst du über die Verhältnisse zunächst die Variable b, dann die Variable h (Einsetzungsverfahren).

Somit bleibt noch a übrig.

LGR

05.01.2010, 17:16

oli1234oli

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leider weiß ich nicht wie so ein Eliminationsverfahren funktioniert, bzw. habe beim Googeln auch nichts Brauchbares gefunden.

Die Formeln für Volumen und Oberfläche lauten,

Das Volumen des Quaders wära a*b*h

Und die Oberflächenformel lautet: O=2*(ab*ah*bh)

weiter weiß ich nicht, wie ich dies mit den Verhältnissen dann richtig angehe!

05.01.2010, 17:31

Eierkopf

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Bei der Oberflächenformel musst Du aber ein ab weglassen, also die Formel so nicht verwenden.
Da b und h in Abhängigkeit von a dargestellt werden können, z.B. $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{2}\cdot{a} \end{eqnarray*}$ bestimme noch b=... und setze in die Formel O = ab + 2*(...) ein. Der Rest ist dann einfach.

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05.01.2010, 17:52

oli1234oli

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Die Oberflächenformel müsste dann lauten:

O=ab+2*(ah*bh)

O=56cm²

Verhaltnis a:b:h=4:5:2

also a ist doppelt so groß wie h

???

05.01.2010, 17:55

Eierkopf

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Also benutzt (setzt) Du in der Formel oben für h halt 0,5*a ein. Was verwendest Du statt b?
USW

05.01.2010, 17:57

oli1234oli

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1 oder 2a

05.01.2010, 18:17

Eierkopf

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Zitat:

Original von oli1234oli

O=ab+2*(ah*bh)

O=56cm²

Hier war noch ein Fehler. Hier wird addiert.

Wie ich schon sagte, setze in O= ... für h ein, wobei $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{2}\cdot{a} \end{eqnarray*}$

Also: $\begin{eqnarray*} O= ab + 2\cdot (a\cdot{(\frac{1}{2}\cdot{a})}+ b\cdot{(\frac{1}{2}\cdot{a})}) \end{eqnarray*}$

Jetzt das b auch noch entsprechend einsetzen. Das Verhältnis kennst Du ja.

06.01.2010, 11:09

oli1234oli

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So stimmt dies jetzt?

$\begin{eqnarray*} O = a*(1,25*a)+2*(a*(\frac{1}{2}*a)+(1,25*a*\frac{1}{2}*a)) \end{eqnarray*}$

und wenn ja, müsste ich das a isolieren, aber wie?

06.01.2010, 12:25

Rechenschieber

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Ausmultiplizieren, zusammenfassen und mit 56 cm² gleichsetzen, denn die Oberfläche ist doch gegeben.
Dann löst du nach a auf.

LGR

06.01.2010, 13:00

oli1234oli

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hab leider keine Ahnung wie ich die rechte Seite nun ausmultipliziere

06.01.2010, 13:26

Rechenschieber

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Die Kuriosität dieser Aufgabe besteht darin, dass das Seitenverhältnis zufällig auch den wahren Längen entspricht.

Am besten, du rechnest die Aufgabe komplett mal neu, ohne auf den alten Zettel zu schauen.

LGR

06.01.2010, 14:36

oli1234oli

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Sehr interessant;

nur komm ich mit dem Kürzen folgender Terme nicht zusammen. Ich bitte dich, mir diesen Vorgang zu erklären?

$\begin{eqnarray*} 56 = a*\frac{5a}{4}+2*a*\frac{1}{2}*a+2*\frac{5a}{4}*\frac{1}{2}*a \end{eqnarray*}$

zu

$\begin{eqnarray*} 56 = \frac{5}{4a²}+a²+\frac{5}{4a²} \end{eqnarray*}$

nach

$\begin{eqnarray*} 56 = \frac{14}{4a²} \end{eqnarray*}$

der Rest ist klar

$\begin{eqnarray*} 56 = 3,5a² \end{eqnarray*}$ /:3,5

$\begin{eqnarray*} 16 = a² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{16} = 4 \end{eqnarray*}$

Probe:

$\begin{eqnarray*} b = \frac{5a}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = \frac{20}{4} = 5 \end{eqnarray*}$

sowie h:

$\begin{eqnarray*} h = \frac{1}{2}*a \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \frac{1}{2}*4=2 \end{eqnarray*}$

06.01.2010, 16:18

Rechenschieber

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Das Ergebnis ist richtig, nur hast du das, was auf den Bruchstrich gehört, in den Nenner geschrieben.

5a/4 *a = 5a²/4 oder 1,25a²
Diesen Summand hast du zweimal, also 2,5*a².
Noch 1a² addiert, ergeben diese 3,5*a².
Der Rest ist bekannt.

Zur Probe gehört auch, dass du mit den gefundenen Werten die Oberfläche kontrollierst.
Außerdem sollst du das Volumen benennen.

LGR

06.01.2010, 18:25

oli1234oli

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Ah super jetzt hab ich es. Also nochmal zur Zusammenfassung.

O= a*b+2*(ah+bh)

Verhältnis 4:5:2

a:b=4:5, h:a=1:2

b=5a/4
h=1a/2

demnach:

O=a*5a/4+2*(a*(1a/2)+(5a/4)*(1a/2))

O=5a²/4+2*((1a²/2)+(5a²/8))

O=5a²/4+2*(9a²/8)

O=10a²/8+18a²/8

O=28a²/8 = 3,5a² = 56/3,5= a² =16 =a=4

b=5*4/4=5
h=4/2=2

V=a*b*h=4*5*2=40cm³
O=a*b+2*(ah+bh)= 4*5+2*(8+10)= 56cm²

Danke an Rechenschieber bzw. Eierkopf für die Hilfe.

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